Trên một đoạn đường giao thông có 2 con đường vuông góc với nhau tại O như hình vẽ. Một địa danh lịch sử có vị trí đặt tại M, vị trí M cách vị trí đường OE 125m và cách đường OH 1km. Vì lý do thực tiễn, người ta muốn làm một đoạn đường thẳng AB đi qua vị trí M, biết rằng giá để làm 100m đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí A và B để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là bao nhiêu?  (THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, lần 1)

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;1), B(3;0;-1), C(0;21;-19) và mặt cầu $\left(S\right): {(x-1)}^2+{(y-1)}^2+{(z-1)}^2=1$ Điểm M(a;b;c) thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức $T=3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhật. Tính tổng a + b + c (THPT Hậu Lộc, Thanh Hóa).

Biết giá trị của tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\ln \left(\frac{{(1+\sin x)}^{1+cosx}}{1+cosx}\right)dx=a\ln 2+b$; a, b là các số hữu tỉ. Khi đó $a^3+b^2$ bằng là

Số nghiệm thuộc khoảng $(0;\mathrm{\pi })$ của phương trình. $\sqrt{\tan x+\sin x}+\sqrt{\tan x-\sin x}=\sqrt{3\tan x}$ là

Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng $a\sqrt{3 }$ . Thể tích khối lăng trụ là.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm là $f\text{'}\left(x\right)={(x-1)}^2(x+2)(3-x)$ . Khi đó số điểm cực trị hàm số là

Cho hàm $y=f\left(x\right)$ thỏa mãn xy'=y(ylnx-1) . Khi đó f(x) bằng.

Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.A_1{B}_1{C}_1$  có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm $A_1$ cách đều 3 điểm  A, B, C. Cạnh bên $A{A}_1$ tạo với mặt phẳng đáy một góc . Thể tích khối trụ $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ bằng $2\sqrt{3}{a}^3$. Giá trị của $\alpha$ là.

Cho hình nón có độ dài đường cao là $a\sqrt{3}$, bán kính đáy là a. Số đo của góc ở đỉnh là

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa $\left|z-2i\right|<5$ là

Cho hàm số $y=\left|x\right|$ có đồ thị (C). Chọn khẳng định sai

Hàm số $y=e^x$ có đồ thị (C). Chọn khẳng định sai

Cho hàm số $y=x^4-2m^2{x}^2+1$(1). Các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 1

Đồ thị hàm $y=x^4-2x^2+c$ có đồ thị như hình bên khi đó

Đạo hàm của hàm số $y=\frac{x+1}{9^x}$

Cho bất phương trình $9^x+(m-1)3^x+m>0 \left(1\right)$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng $\forall x>1$