Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = BC = 2a. Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $\left(ABC\right),SA=\sqrt{3}a.$ Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng:

Phương pháp:

- Gọi H là trung điểm của AC chứng minh $SH\perp \left(SAC\right),BH\perp \left(SAC\right).$

- Trong (SAB) kẻ $BI\perp SA$ , chứng minh $\angle \left(\left(SAB\right);\left(SAC\right)\right)=\angle \left(BH;HI\right)$.

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân, định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Cách giải:

Gọi H là trung điểm của AC ta có $SH\perp AC$ (do tam giác SAC cân tại S).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)=AC\\ AH\subset \left(SAC\right),AH\perp AC\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp \left(ABC\right).$ Tương tự $BH\perp \left(SAC\right)$

Trong (SAB) kẻ $BI\perp SA$ ta có $\left\{\begin{array}{l}SA\perp BI\\ SA\perp BI\left(do\text{ BH}\perp \left(SAC\right)\right)\end{array}\right.\Rightarrow SA\perp \left(BHI\right)\Rightarrow SA\perp HI$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\cap \left(SAC\right)=SA\\ BI\subset \left(SAB\right),BI\perp SA\\ HI\subset \left(SAC\right),HI\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow \angle \left(\left(SAB\right);\left(SAC\right)\right)=\angle \left(BI;HI\right).$

 

Vì $BH\perp \left(SAC\right)\left(cmt\right)\Rightarrow BH\perp HI\Rightarrow \Delta BHI$ vuông tại I

Do đó $\angle \left(\left(SAB\right);\left(SAC\right)\right)=\angle \left(BH;HI\right)=\angle BHI$

Tam giác ABC vuông cân tại B có AB BC = 2a nên $BH=\frac{AB}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2},AC=AB\sqrt{2}=2\sqrt{2}a.$

Ta có: $SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{3a^2-2a^2}=a.$

$\Rightarrow HI=\frac{SH.AH}{SA}=\frac{a.\sqrt{2}a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{6}a}{3}.$

 

Xét tam giác vuông BHI có $\tan \angle BIH=\frac{BH}{IH}=\frac{a\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}a}{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow \angle BIH={60}^0$

Vậy $\angle \left(\left(SAB\right);\left(SAC\right)\right)={60}^0.$

Chọn A.