Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=3a, BC=4a, SA=12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Đáp án đúng: A.

*Lời giải:

* Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Dựng đường thẳng Ox vuông góc mặt phẳng đáy, ta có $Ox//SA\Rightarrow Ox\cap SC=I.$ Dễ thấy, I là trung điểm của SC cách đều các đỉnh S,A,C và là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ta có $R=\frac{SC}{2}.$

* Xét tam giác $ABC:AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{9a^2+16a^2}=5a.$

Xét tam giác $SAC:SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{144a^2+25a^2}=13a.$

Vậy $R=\frac{SC}{2}=\frac{13a}{2}.$

*Phương pháp giải:

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

+ Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

+ Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục Δ của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).

+ Giao điểm I của (P) và d (hoặc của Δ và d ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

+ Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu.

 

*Lý thuyến cần nắm về mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp:

Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp của một số hình đa diện cơ bản

a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

- Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

⇒ Tâm là I, là trung điểm của AC'.

- Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.

Xét hình lăng trụ đứng A1A2A3...An.A'1A'2A'3...A'n, trong đó có 2 đáy A1A2A3...An và A'1A'2A'3...A'n nội tiếp đường tròn (O) và (O'). Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:

- Tâm: I với I là trung điểm của OO'

- Bán kính: R = IA1 = IA2 = ... = IAn

c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.

- Hình chóp S.ABC có:

- Hình chóp S.ABCD có:

Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp

Phương pháp giải

a. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

+ Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

+ Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục Δ của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).

+ Giao điểm I của (P) và d (hoặc của Δ và d ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

+ Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu.

b. Mặt cầu nội tiếp hình chóp.

*Điều kiện tồn tại mặt cầu nội tiếp được khối chóp: Nếu trên đáy của một hình chóp tồn tại một điểm cách đều tất cả các mặt xung quanh của hình chóp thì hình chóp đó có một hình cầu nội tiếp.

*Cách xác định tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh trùng với điểm ở đáy mà cách đều tất cả các mặt bên:

- Xác định được điểm O cách đều trên đáy.

- Nối đỉnh hình chóp với O bằng một đoạn thẳng.

- Dựng mặt phẳng phân giác của một góc nhị diện nào đó ở đáy. Giao điểm của mặt phẳng phân giác với đường thẳng trên là tâm hình cầu nội tiếp cần tìm.

*Nếu đặt V là thể tích khối chóp và Stp là tổng diện tích mặt đáy và các mặt bên của chóp (diện tích toàn phần) thì bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:

 

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Mặt cầu (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Mặt cầu (có đáp án 2024) - Toán 12

261 Bài tập trắc nghiệm Hình học Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải chi tiết