Hệ thống kiến thức Toán lớp 9 Học kì 1

Hệ thống kiến thức Toán lớp 9 Học kì 1 chi tiết giúp học sinh ôn luyện để đạt điểm cao trong bài thi Toán 9 học kì 1. Mời các bạn cùng đón xem

1 473 lượt xem
Tải về


Hệ thống kiến thức Toán lớp 9 Học kì 1

A. ĐẠI SỐ

CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

A. Lý thuyết

1. Căn bậc hai

a. Khái niệmCăn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.

b. Tính chất:

- Số âm không có căn bậc hai.

- Số 0 có đúng một căn bậc hai đó chính là số 0, ta viết 0=0.

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau; số dương ký hiệu là a, số âm ký hiệu là -a.

2. Căn bậc hai số học

a. Định nghĩaVới số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Chú ý. Với a ≥ 0, ta có:

Nếu x=a thì x ≥ 0 và x2 = a;

Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x=a.

- Ta viết x=ax0,x2=a.

b. Phép khai phương:

Phép khai phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm (gọi tắt là khai phương).

- Khi biết một căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai của nó.

3. So sánh các căn bậc hai số học

Định lí. Với hai số a và b không âm, ta có: a<ba<b.

4. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A là biểu thức lấy căn hay còn gọi là biểu thức dưới dấu căn.

A xác định(có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.

5. Hằng đẳng thức A2=A

Định lí. Với mọi số a, ta có a2=a.

Chú ý. Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có A2=A, có nghĩa là:

A2=A nếu A ≥ 0 (tức là A lấy giá trị không âm);

A2=-A nếu A < 0 (tức là A lấy giá trị âm).

6. Căn bậc hai của một tích

Định lí. Với hai số a và b không âm, ta có a.b=a.b.

Chú ý: Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm.

7. Quy tắc khai phương một tích

Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả lại với nhau.

a.b=a.b (với a, b ≥ 0).

8. Quy tắc nhân các căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

a.b=a.b (với a, b ≥ 0).

Chú ý. Một cách tổng quát, với hai biểu thức A và B không âm ta có:

A  .  B=A  .  B.

Đặc biệt, với biểu thức A không âm ta có: (A)2=A2=A.

9. Căn bậc hai của một thương

Định lí. Với số a không âm và số b dương, ta có: ab=ab.

10Quy tắc khai phương một thương

Muốn khai phương một thương ab, trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương của các số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.

ab=ab (với a ≥ 0, b > 0).

11. Quy tắc chia hai căn bậc hai

Muốn chia hai căn bậc hai của số a không âm và số b dương, ta có thể lấy số a chia cho số b rồi khai phương kết quả vừa tìm được.

ab=ab (với a ≥ 0, b > 0).

Chú ý. Một cách tổng quát, với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có: AB=AB.

12. Giới thiệu bảng căn bậc hai

+ Bảng được chia thành các hàng và các cột.

+ Căn bậc hai của các số được viết bởi không qua ba chữ số từ 1,00 đến 99,9 được ghi sẵn trong bảng ở các cột từ cột 0 đến cột 9.

+ Tiếp đó là chín cột hiệu chính được dùng để hiệu chính chữ số cuối của căn bậc hai của các số được viết bởi bốn chữ số từ 1,000 đến 99,99.

+ Bảng căn bậc hai.

Lý thuyết Ôn tập chương 1 chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

13. Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

• Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: a2b=ab. Phép biến đổi này được gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Đôi khi, ta phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng thích hợp rồi mới thực hiện được phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Có thể sử dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0 ta có A2.B=  |A|B, tức là:

Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A2B=AB;

Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì A2B=AB.

14. Đưa thừa số vào trong dấu căn

• Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn có phép biến đổi ngược với nó là phép đưa thừa số vào trong dấu căn.

Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì AB=A2B.

Với A < 0 và B ≥ 0 thì AB=A2B.

• Có thể sử dụng phép đưa thừa số vào trong (hoặc ra ngoài) dấu căn để so sánh các căn bậc hai.

15. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Tổng quát: Với các biểu thức A, B mà A.  B ≥ 0 và B ≠ 0, ta có:

AB=AB|B|.

16. Trục căn thức ở mẫu

Trục căn thức ở mẫu số là biến đổi để biểu thức đó mất căn thức ở mẫu số.

Tổng quát:

• Với các biểu thức A, B mà B > 0 ta có: AB=ABB.

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, A ≠ B2, ta có:

CA±B=C(AB)AB2.

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B ta có:

CA±B=C(AB)AB.

17. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

- Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

- Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thứa và khai phương thì thứ tự thực hiện: khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ.

18. Khái niệm căn bậc ba

Định nghĩa: Căn bậc ba của một số thực a là số x sao cho x3 = a.

• Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.

• Căn bậc ba của một số a được kí hiệu là x=a3 (số 3 gọi là chỉ số căn).

• Phép lấy căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc ba.

Chú ý. Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có (a3)3=a33=a.

Nhận xét: 

- Căn bậc ba của số dương là số dương;

- Căn bậc ba của số âm là số âm;

- Căn bậc ba của số 0 là số 0.

19. Tính chất căn bậc ba

• a < b Û a3<b3.

• ab3=a3.  b3.

• Với b ≠ 0, ta có: ab3=a3b3.

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT

A. Lý thuyết

1. Khái niệm hàm số

 Nếu đại lượng y phụ thuộc vào một đại lượng x thay đổi sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số

 Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng công thức, ...

 Hàm số thường được ký hiệu bởi những chữ f, g, h, ... chẳng hạn khi y là hàm số của biến số x, ta viết y = f(x) hoặc y = g(x), ….

 f(a) là giá trị của hàm số y = f(x) tại x = a. Khi hàm số y được cho bởi công thức y = f(x), muốn tính giá trị f(a) của hàm số tại x = a, ta thay x = a vào biểu thức f(x) rồi thực hiện các phép tính trong biểu thức.

 Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là một hàm hằng.

2. Đồ thị của hàm số

Tập hợp các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).

3. Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc .

 Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của f(x) tương ứng cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên R (gọi tắt là hàm số đồng biến).

 Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của f(x) tương ứng giảm đi thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến).

Nói cách khác, cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực R. Với x1,  x2R ta có:

+ Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số đồng biến.

+ Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số nghịch biến.

4. Định nghĩa hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số cho trước và a ≠ 0.

Chú ý: Khi b = 0 ta có hàm số y = ax (đã học ở lớp 7).

5. Tính chất hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có các tính chất như sau:

 Đồng biến trên R khi a > 0.

 Nghịch biến trên R khi a < 0.

6. Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng:

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.

- Song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0

Chú ý. Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) còn được gọi là đường thẳng y = ax + b và b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.

7. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

 Khi b = 0 thì y = ax. Đồ thị hàm số y = ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a).

 Xét trường hợp y = ax + b với a  0 và b  0.

Bước 1: Cho x = 0 thì y = b, ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì x=ba, ta được điểm Qba;  0 thuộc trục hoành Ox.

Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0).

 Chú ý: Vì đồ thị y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng nên muốn vẽ nó chỉ cần xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị.

8Đường thẳng song song

Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a', b ≠ b' và trùng nhau khi và chỉ khi a = a', b = b'.

9Đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0) cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a'.

Chú ý. Khi a ≠ a' và b = b' thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là b.

10Khái niệm hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

a. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox

Gọi A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox và M là một điểm thuộc đường thẳng và có tung độ dương.

Khi đó, Max^ là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox.

Lý thuyết Ôn tập chương II chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Lý thuyết Ôn tập chương II chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

11. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

− Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau.

Khi a > 0, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90°.

Khi a < 0 góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180°.

Như vậy, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox phụ thuộc vào a.

Người ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.

Lý thuyết Ôn tập chương II chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Lý thuyết Ôn tập chương II chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Chú ý. Khi b = 0, ta có hàm số y = ax. Trong trường hợp này, ta có thể nói a là hệ số góc của đường thẳng y = ax.

B. HÌNH HỌC

CHƯƠNG 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

A. Lý thuyết

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Định lí 1. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Ta có: AB2 = BC . BH; AC2 = BC . HC.

2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao

Định lí 2. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Ta có: AH2 = BH . HC.

Định lí 3. Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

Ví dụ 3. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Ta có: AB . AC = BC . AH.

Định lí 4. Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

Ví dụ 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

3. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α.

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có .

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Nhận xét: Nếu α là một góc nhọn thì:

0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1; tan α > 0; cot α > 0.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Chú ý: Nếu hai góc nhọn α và β có sin α = sin β (hoặc cos α = cos β, hoặc tan α = tan β, hoặc cot α = cot β) thì α = β vì chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có AB = AC, đường cao AH. MN là đường trung bình của tam giác ABH. Chứng minh AMN^=C^.

Lời giải:

Vì AH là đường cao của ∆ABC nên AHBC hay AHBH (1)

Mà MN là đường trung bình của ∆AMN nên:

+ AB = 2AM; AH = 2AN.

+ MN // BH (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNBH (tính chất từ vuông góc đến song song).

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

4. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Định lí. Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có B^=α;  C^=β.

 Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Khi đó, α + β = 90° (trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau).

Ta có: sin α = cos β; cos α = sin β; tan α = cot β; cot α = tan β.

Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt:

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 16, C^=30o. Tính độ dài AB.

Lời giải:

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Chú ý: Từ nay khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta bỏ kí hiệu " ^ " đi.

Ví dụ 6. Góc A là góc nhọn thì ta viết sin A thay cho sinA^.

5. Các hệ thức trong tam giác vuông:

Định lí. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với côsin góc kề.

+ Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với côtang của góc kề.

Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Khi đó, a là độ dài cạnh huyền;

b và c là độ dài hai cạnh góc vuông.

Do đó: b = a.sin B = a.cos C; c = a.sin C = a.cos B;

b = c.tan B = c.cot C; c = b.tan C = b.cot C.

CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG TRÒN

1. Định nghĩa về đường tròn

Đường tròn tâm O bán kính R > 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O; R) hay (O).

Lý thuyết Tổng hợp Chương 2 Hình học 9 - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

Nếu A nằm trên đường tròn (O; R) thì OA = R.

Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OA < R.

Nếu A nằm ngoài đường tròn (O; R) thì OA > R.

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

+ Trong một đường tròn:

⋅ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

⋅ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

+ Trong hai dây của một đường tròn:

⋅ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

⋅ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng Δ. Đặt d = d(O, Δ).

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d < R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d > R

5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

+ Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+ Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

    + Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

7. Đường tròn nội tiếp tam giác

+ Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

+ Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.

8. Đường tròn bàng tiếp tam giác

+ Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

+ Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.

+ Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).

9. Tính chất đường nối tâm

+ Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.

+ Nếu hai đường tròn cắt nhau thi hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

+ Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

10. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r). Đặt OO' = d.

VTTĐ của hai đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d với R và r
Hai đường tròn cắt nhau 2 R - r < d < R + r

Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

- Thiếp xúc ngoài

- Tiếp xúc trong

1

d = R + r

d = R - r

Hai đường tròn không giao nhau:

- Ở ngoài nhau

- (O) đựng (O')

0

d > R + r

d < R - r

11. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.

Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.

Xem thêm:

Đề thi Toán lớp 9 học kì 1 năm 2022

Đề thi Toán lớp 9 học kì 1 năm 2022 - 2023 đề số 1

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng học kì 1

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 45 phút

Bài 1. (2 điểm): Cho biểu thức A = x2x với x > 0

1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16

2. Rút gọn biểu thức P = A.1x+2+1x2 với x > 0; x ≠ 4

3. Tìm các giá trị của x để P > 13 

Bài 2. (2 điểm):

1. Thực hiện phép tính: 5038+32 

2. Giải các phương trình sau:

a. x24x+4=1

b. x23xx3=0 

Bài 3. (2 điểm): Cho hàm số y = (m – 1)x + 3 có đồ thị là đường thẳng (d)

1. Vẽ đường thẳng (d) khi m = 2

2. Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1

3. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng được vẽ ở câu 1

Bài 4. (3,5 điểm): Cho điểm E thuộc nửa đường tròn tâm O, đường kính MN. Kẻ tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn tâm O, tiếp tuyến này cắt đường thẳng ME tại D.

1. Chứng minh rằng: ∆MEN vuông tại E. Từ đó chứng minh DE.DM = DN2

2. Từ O kẻ OI vuông góc với ME (I ∈ ME).

Chứng minh rẳng: 4 điểm O; I; D; N cùng thuộc một đường tròn.

3. Vẽ đường tròn đường kính OD, cắt nửa đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là A. Chứng minh rằng: DA là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O.

4. Chứng minh rằng:  DEA^ =DAM^

Bài 5. (0,5 điểm): Cho x, y là các số dương và 1x+4y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y

Đề thi Toán lớp 9 học kì 1 năm 2022 - 2023 đề số 2

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng học kì 1

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 45 phút

Bài 1 (2,0 điểm) Tìm x biết:

1. 3x+4x5x=10 

2. x+32=1

Bài 2 (2,5 điểm) Cho hai biểu thức

 A = 2x3+x và B = 15xx25+2x+5:x+3x5 với x ≥ 0; x ≠ 25

1. Tính giá trị của A khi x = 9

2. Rút gọn B

3. Đặt P = A + B. Tìm giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên

Bài 3 (1,5 điểm)

Cho hàm số bậc nhất y = (m – 2)x + 2 – m với m là tham số, có đồ thị là đường thẳng d.

1. Vẽ đường thẳng d trên mặt phẳng tọa độ Oxy với m = 3

2. Cho hai đường thẳng d1: y = x + 2 và d2: y = 4 – 3x. Tìm m để ba đường thẳng d, d1, d2 đồng quy.

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) với A, B là các tiếp điểm.

1. Chứng minh bốn điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn.

2. Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Chứng minh OM // CB

3. Vẽ BK vuông góc với AC tại K. Chứng minh: CK.OM = OB.CB

4. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AB tại D. Chứng minh OD vuông góc với CM.

Bài 5 (0,5 điểm) Với các số thực x, y thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1x+1y1+x2y2 

Đề thi Toán lớp 9 học kì 1 năm 2022 - 2023 đề số 3

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng học kì 1

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 45 phút

Bài 1 (1,5 điểm)

1. Tính giá trị của biểu thức P =125+20180  

2. Tìm giá trị x thực, biết x1+9x94x4=4 

Bài 2 (2,0 điểm) Cho các biểu thức:

A = x4x2 và B = 2x2+3x+2x5x+24x với x ≥ 0; x ≠ 4

1. Tính giá trị của A khi x = 49

2. Rút gọn B

3. Với x > 4, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A.B

Bài 3 (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – 4

1. Xác định tọa độ các giao điểm A và B của (d) với hai trục Ox và Oy. Vẽ (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy

2. Tính chu vi và diện tích tam giác OAB

3. Tìm m để đường thẳng (dm): y =(m2 – 2)x + 2m – 2m2 song song với (d)

Bài 4 (3,5 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R). Gọi MA, MB là hai tiếp tuyến với đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính AD của đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của OM và AB, I là trung điểm của đoạn thẳng BD

1. Chứng minh tứ giác OHBI là hình chữ nhật

2. Cho biết OI cắt MB tại K, chứng minh KD là tiếp tuyến cảu (O)

3. Giả sử OM = 2R, tính chu vi tam giác AKD theo R.

4. Đường thẳng qua O và vuông góc với MD cắt tia AB tại Q. Chứng minh K là trung điểm của DQ

Bài 5 (0,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm và thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

K=12a+bc2+12b+ac2+12c+ab2

Đề thi Toán lớp 9 học kì 1 năm 2022 - 2023 đề số 4

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng học kì 1

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 45 phút

Bài 1 (1,0 điểm) Thực hiện các phép tính:

a)    a. 20245+5.5 

       b. 2103+210+3

Bài 2 (2,0 điểm)

Giải các phương trình:

a. x2=5 

b. 25x+25+3x+1124x+4=42 

Bài 3 (2,5 điểm)

Cho biểu thức P = xx11xx:1x+1+2x1 

a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn P

b. Tìm các giá trị của x để P < 0

c. Tìm m để x thỏa mãn: P.x=mx 

Bài 4 (1,0 điểm)

Cho hàm số y = 2x + 3 có đồ thị là (d) và hàm số y = - 0,5x – 2 có đồ thị là (d’).

a. Vẽ (d) và (d’) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b. Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị bằng phương pháp đại số

Bài 5 (3,5 điểm)

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và điểm C thuộc nửa đường tròn đó. Từ C kẻ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). Gọi M là hình chiếu của H trên AC, N là hình chiếu của H trên BC.

a. Chứng minh tứ giác HMCN là hình chữ nhật

b. Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH

c. Chứng minh MN vuông góc với CO

d. Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB để đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất?

1 473 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: