Sách bài tập Vật lí 12 Bài 12 (Kết nối tri thức): Áp suất khí theo mô hình động học phân tử. Quan hệ giữa động năng phân tử và nhiệt độ

Giải SBT Vật lí 12 Bài 12: Áp suất khí theo mô hình động học phân tử. Quan hệ giữa động năng phân tử và nhiệt độ

Câu 12.1 trang 36 SBT Vật Lí 12: Công thức nào sau đây không biểu diễn mối quan hệ giữa áp suất chất khí tác dụng lên thành bình và động năng trung bình của các phân tử khímối quan hệ giữa áp suất chất khí tác dụng lên thành bình và động năng trung bình của các phân tử khí?

A. $\text{p}=\frac{2}{3}\frac{\text{N}}{\text{V}}{\overline{\text{E}}}_{\text{d}}.$

B. $\text{p}=\frac{2}{3}\frac{\text{N}}{\text{V}}\text{m}\overline{{\text{v}}^2}.$

C. $\text{p}=\frac{1}{3}\frac{\text{N}}{\text{V}}\text{m}\overline{{\text{v}}^2}.$

D. $\text{pV}=\frac{2}{3} \text{N}{\overline{\text{E}}}_{\text{d}}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Mối quan hệ giữa áp suất chất khí tác dụng lên thành bình và động năng trung bình của các phân tử khí được biểu diễn bằng các công thức: $\text{p}=\frac{1}{3}\frac{\text{N}}{\text{V}}\text{m}\overline{{\text{v}}^2}=\frac{2}{3}\frac{\text{N}}{\text{V}}{\overline{\text{E}}}_{\text{d}}\Rightarrow \text{pV}=\frac{2}{3} \text{N}{\overline{\text{E}}}_{\text{d}}.$

Câu 12.2 trang 37 SBT Vật Lí 12: Từ các công thức tính áp suất chất khí trong Bài 12 SGK Vật lí 12 có thể nói áp suất chất khí là một đại lượng thống kê vì:

A. Công thức chỉ áp dụng được cho một tập hợp vô cùng lớn các phân tử khí.

B. Công thức cho thấy áp suất phụ thuộc vào động năng trung bình của các phân tử khí.

C. Công thức cho thấy áp suất chất khí không phụ thuộc vào tốc độ của từng phân tử.

D. Tất cả các lí do kể trên.

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Áp suất chất khí là một đại lượng thống kê vì:

- Công thức chỉ áp dụng được cho một tập hợp vô cùng lớn các phân tử khí.

- Công thức cho thấy áp suất phụ thuộc vào động năng trung bình của các phân tử khí.

- Công thức cho thấy áp suất chất khí không phụ thuộc vào tốc độ của từng phân tử.

Câu 12.3 trang 37 SBT Vật Lí 12: Phát biểu nào sau đây không phù hợp với bản chất của mối quan hệ giữa động năng trung bình của phân tử và nhiệt độ?

A. Động năng trung bình của các phân tử khí tỉ lệ thuận với nhiệt độ.

B. Động năng trung bình của các phân tử khí càng lớn thì nhiệt độ khí càng thấp.

C. Nhiệt độ của khí càng cao thì động năng trung bình của các phân tử khí càng lớn.

D. Nhiệt độ của khí tỉ lệ với động năng trung bình của các phân tử khí.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Động năng trung bình của các phân tử khí tỉ lệ thuận với nhiệt độ, $\overline{E_d}=\frac{3}{2}kT$.

Câu 12.4 trang 37 SBT Vật Lí 12: Công thức nào sau đây vừa thể hiện mối quan hệ toán học vừa thể hiện mối quan hệ vật lí giữa đại lượng nhiệt độ tuyệt đối của chất khí và động năng trung bình của các phân tử khí?

A. $\overline{\text{E}}=\frac{2}{3}\text{kT}.$

B. $\text{T}=\frac{2}{3\text{k}}{\overline{\text{E}}}_{\text{d}}.$

C. $\overline{\text{E}}=\frac{2}{3}\frac{\text{R}}{{\text{N}}_{\text{A}}}\text{T}.$

D. Cả 3 công thức trên.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

$\overline{E_d}=\frac{3}{2}kT\Rightarrow T=\frac{2}{3k}{\overline{E}}_d.$

Câu 12.5 trang 37 SBT Vật Lí 12: Hãy cho biết mối liên hệ giữa động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của phân tử với nhiệt độ. Theo quan điểm của thuyết động học phân tử thì nhiệt độ là gì?

Lời giải:

Công thức $\overline{\text{E}}=\frac{3}{2}\text{kT}$ cho thấy mối quan hệ toán học giữa độ lớn của động năng trung bình của phân tử với nhiệt độ tuyệt đối. Tuy nhiên thì về bản chất thì nhiệt độ phụ thuộc vào động năng trung bình của phân tử nên để biểu diễn mối quan hệ có tính nhân giữa hai đại lượng này thì dùng biểu thức: $\text{T}=\frac{2}{3\text{k}}{\overline{\text{E}}}_{\text{d}}.$ Biểu thức này cho thấy T tỉ lệ với ${\overline{\text{E}}}_{\text{d}}$ nên có thể coi nhiệt độ tuyệt đối là số đo động năng trung bình phân tử theo một đơn vị khác.

Câu 12.6 trang 37 SBT Vật Lí 12: Ở nhiệt độ nào các phân tử khí helium có tốc độ trung bình của các phân tử hydrogen ở nhiệt độ 15 °C?

Lời giải:

Với hydrogen: ${\overline{\text{E}}}_1=\frac{3}{2}{\text{kT}}_1=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2$ (1).

Với helium: ${\overline{\text{E}}}_2=\frac{3}{2}{\text{kT}}_2=\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2$ (2).

Vì $v_1=v_2$ nên từ (1) và (2) suy ra:

$\frac{T_1}{T_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{M_1}{M_2}=\frac{2}{4}\Rightarrow \frac{15+273}{T_2}=\frac{1}{2}\Rightarrow T_2=576K\Rightarrow t_2=303°C.$

Câu 12.7 trang 37 SBT Vật Lí 12: Hãy chứng minh rằng ở điều kiện chuẩn về áp suất và nhiệt độ thì mật độ phân tử của mọi khí đều có giá trị: 2,683.10²⁵/m³.

Lời giải:

Ở điều kiện chuẩn thì áp suất là 1,013.10⁵ Pa; T = 273K

Nếu kí hiệu mật độ phân tử bằng chữ “h” thì: $\eta =\frac{N}{V}=\frac{{\text{nN}}_{\text{A}}}{\text{V}}$ (1). Với N là số phân tử có trong thể tích V và N_A là số Avogadro, n là số mol.

Mặt khác ta có pV = nRT (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\eta =\frac{{\text{pN}}_{\text{A}}}{\text{RT}}=\frac{1,{013.10}^5.6,{02.10}^{23}}{8,31.273}=2,{68.10}^{25}.$

Từ đó tính được độ lớn không đổi của h.

Câu 12.8 trang 37 SBT Vật Lí 12: Tính tốc độ toàn phương trung bình (gọi tắt là tốc độ trung bình) của không khí ở nhiệt độ 17 °C nếu coi không khí ở nhiệt độ này là một khí đồng nhất có khối lượng mol là 0,029 kg/mol.

Lời giải:

Dựa vào công thức: ${\overline{\text{E}}}_{\text{C}}=\frac{3}{2}\text{kT}=\frac{3}{2}\frac{\text{R}}{{\text{N}}_{\text{A}}}\text{T}$ và ${\overline{\text{E}}}_{\text{C}}=\frac{\text{m}{\overline{\text{v}}}^2}{2}$

Suy ra $\frac{3}{2}\frac{\text{R}}{{\text{N}}_{\text{A}}}\text{T}=\frac{\text{m}{\overline{\text{v}}}^2}{2}\Rightarrow {\overline{\text{v}}}^2=\frac{3RT}{N_{A}m}\Rightarrow \overline{\text{v}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}=499 \text{m}/\text{s}.$

Câu 12.9 trang 37 SBT Vật Lí 12: Không khí gồm các phân tử oxygen có khối lượng mol 32 g/mol và phân từ nitrogen 28 g/mol. Tính động năng trung bình tịnh tiến của phân tử không khí ở 20 °C. Từ đó suy ra tốc độ trung bình của mỗi loại phân tử.

Lời giải:

$\text{E}=\frac{3}{2}kT=\frac{3}{2}.1,{38.10}^{-23}.(20+273)=6,1\cdot {10}^{-21} \text{J}$

${\text{v}}_{{\text{O}}_2}=\sqrt{\frac{3RT}{M_{O_2}}}=\sqrt{\frac{3.8,31.(20+293)}{0,032}}=480 \text{m}/\text{s}$

${\text{v}}_{{\text{N}}_2}=\sqrt{\frac{3RT}{M_{N_2}}}=\sqrt{\frac{3.8,31.(20+273)}{0,028}}=510 \text{m}/\text{s}$

Lý thuyết Áp suất khí theo mô hình động học phân tử. Quan hệ giữa động năng phân tử và nhiệt độ

I. Áp suất khí theo mô hình động học phân tử

1. Tác dụng của một phân tử khí lên thành bình

Áp suất khí tác dụng lên thành bình càng tăng khi các phân tử khi chuyển động nhiệt càng nhanh, khối lượng và mật độ phân tử khí càng lớn.

Từ phương trình trạng thái khí lí tưởng ta có:

$\text{pV}=\text{nRT}=\frac{\text{N}}{{\text{N}}_{\text{A}}}\cdot \text{RT}=\text{N}\left(\frac{\text{R}}{{\text{N}}_{\text{A}}}\right)\text{T}={\text{Nk}}_{\text{B}}\text{T}$ (1)

Trong đó ${\text{k}}_{\text{B}}=\frac{\text{R}}{{\text{N}}_{\text{A}}}=\frac{8,31}{6,{023.10}^{23}}=1,38\cdot {10}^{-23}\left(\frac{\text{J}}{\text{K}}\right)$ là hằng số Boltzmann.

Xét hình lập phương có cạnh dài $l$ chứa n mol khí lý tưởng. Một phân tử có khối lượng m chuyển động vận tốc $\overrightarrow{v}$ va chạm với bức tường được tô màu có diện tích S như hình vẽ bên.

Độ biến thiên động lượng: $\Delta \text{p}=\Delta \text{mv}={\text{mv}}_{\text{x}}-\left(-{\text{mv}}_{\text{x}}\right)=2{\text{mvv}}_{\text{x}}$

Gọi $∆t$ là khoảng thời gian giữa hai lần va chạm liên tiếp $\Delta \text{t}=\frac{2l}{{\text{v}}_{\text{x}}}$

Lực do một phân tử tác dụng lên thành bình có độ lớn: $\text{F}=\frac{\Delta \text{p}}{\Delta \text{t}}=\frac{2{\text{mv}}_{\text{x}}}{\Delta \text{t}}=\frac{{\text{mv}}_{\text{x}}^2}{l}$

2. Tác dụng của N phân tử khí lên thành bình

Vậy tổng lực do N phân tử tác dụng lên thành bình: $\text{F}=\sum _{\text{i}}^{\text{N}}{\text{F}}_{\text{i}}=\sum _{\text{i}}^{\text{N}}\frac{{\text{mv}}_{\text{ix}}^2}{l}=\frac{\text{m}}{l}\sum _{\text{i}}^{\text{N}}{\text{v}}_{\text{ix}}^2.$

Giá trị trung bình tổng các lực do N phân tử tác dụng là: $\overline{\text{F}}=\text{N}\frac{\text{m}}{l}\left(\sum _{\text{i}}^{\text{N}}\overline{{\text{v}}_{\text{ix}}^2}\right)=\text{N}\frac{\text{m}{\overline{\text{v}}}_{\text{x}}^2}{l}$ (2)

Vì phân tử có tốc độ trung bình như nhau theo cả ba hướng nên $\overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2}.$

Do đó trung bình của bình phương tốc độ được viết là $\overline{v^2}=\overline{v_x^2}+\overline{v_y^2}+\overline{v_z^2}=3\overline{v_x^2}$ thay vào (2) ta được biểu thức: $\overline{\text{F}}=\text{N}\frac{\text{m}\overline{v_{\text{x}}^2}}{l}=\text{N}\frac{\text{m}\overline{{\text{v}}^2}}{3l}$

Vậy áp suất tác dụng lên thành bình là: $\text{p}=\frac{\text{F}}{\text{S}}=\text{N}\frac{\text{m}\overline{v^2}}{3\text{S}l}=\frac{\text{Nm}\overline{v^2}}{3\text{V}}\Rightarrow \text{pV}=\frac{1}{3}\text{Nm}\overline{v^2}$ (3)

II. Mối quan hệ giữa động năng phân tử và nhiệt độ

Từ (1) và (3) ta có: $\Rightarrow \frac{1}{3}{\text{Nm}}^2={\text{Nk}}_{\text{B}}\text{T}$

Do đó động năng trung bình của một phân tử là $\overline{{\text{W}}_{\text{d}}}=\frac{1}{2}\text{m}\overline{v^2}=\frac{3}{2}{\text{k}}_{\text{B}}\text{T}.$

k_B là hằng số Boltzmann, k_B = 1,38.10^-23 J/K

Căn bậc hai của $\overline{v^2}$ là $\sqrt{\overline{v^2}}$ được gọi là tỗc độ căn quân phương của phân tử hay còn gọi tốc độ căn bậc hai trung bình của phân tử khí, kí hiệu $v_{\text{rms}}=\sqrt{\overline{{\text{v}}^2}}.$