Sách bài tập Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian - Cánh diều

Bài 1 trang 60 SBT Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm tam giác BCD. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

B. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

C. $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CG}$.

D. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Do G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$. Vậy đáp án A đúng.

Do G là trọng tâm tam giác BCD, có $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ nên ta có:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{GA}$. Vậy đáp án B sai.

Có $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GD}$ = $2\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}$ = $2\overrightarrow{CG}-\overrightarrow{GC}$ = $3\overrightarrow{CG}$. Vậy đáp án C đúng.

Có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GD}$

         $=3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}$

         = $3\overrightarrow{AG}$.

Vậy đáp án D đúng.

Bài 2 trang 60 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BB\text{'}}=\overrightarrow{AC\text{'}}$.

B. $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}+\overrightarrow{A\text{'}D\text{'}}+\overrightarrow{A\text{'}A}=\overrightarrow{AC\text{'}}$.

C. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{A\text{'}A}=\overrightarrow{AC\text{'}}$.

D. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A\text{'}A}=\overrightarrow{AC\text{'}}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BB\text{'}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA\text{'}}$ = $\overrightarrow{AC\text{'}}$.

Bài 3 trang 60 SBT Toán 12 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và số thực k, ta có: k($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$) = k$\overrightarrow{a}$ + k$\overrightarrow{b}$.

B. Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và số thực k, ta có: k($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$) = $\overrightarrow{a}$k + $\overrightarrow{b}$k.

C. Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và số thực k, ta có: ($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$)k = $\overrightarrow{a}$k + $\overrightarrow{b}$k.

D. Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và số thực k, ta có: k($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$) = k$\overrightarrow{a}$ +$\overrightarrow{b}$k.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và số thực k, ta có: k($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$) = k$\overrightarrow{a}$ + k$\overrightarrow{b}$.

Bài 4 trang 60 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{B\text{'}C}$ bằng:

A. 30°.

B. 45°.

C. 120°.

D. 60°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{B\text{'}C}\right)=\left(\overrightarrow{B\text{'}D\text{'}},\overrightarrow{B\text{'}C}\right)=\widehat{CB\text{'}D\text{'}}.$

Ta chứng minh được tam giác CB'D' đều nên $\widehat{CB\text{'}D\text{'}}$ = 60°.

Vậy $\left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{B\text{'}C}\right)=$60°.

Bài 5 trang 60 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{DA\text{'}}$ bằng:

A. 30°.

B. 45°.

C. 120°.

D. 60°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Coi cạnh hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài là 1.

Ta có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DA\text{'}}$ = −$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{DA\text{'}}$ = −|$\overrightarrow{CA}$|.|$\overrightarrow{DA\text{'}}$|.cos$\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{DA\text{'}}\right)$

              = −$\sqrt{2}.\sqrt{2}.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB\text{'}}\right)$

              = −$\sqrt{2}.\sqrt{2}.\cos 60°$ = −1.

⇒ cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DA\text{'}}\right)$ = = $\frac{-1}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}$ = $\frac{-1}{2}$.

Vậy $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DA\text{'}}\right)=120°$.

Bài 6 trang 60 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ tạo với nhau một góc 60° và |$\overrightarrow{a}$| = 3 cm, |$\overrightarrow{b}$| = 4 cm. Khi đó $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ bằng:

A. 12.

B. 6.

C. 6$\sqrt{3}$.

D. −6.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ = |$\overrightarrow{a}$|.|$\overrightarrow{b}$|.cos60° = 3.4.$\frac{1}{2}$ = 6.

Vậy đáp án đúng là B.

Bài 7 trang 61 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = $\sqrt{2}$ (Hình 9).

Lời giải:

Nhận thấy: AB² + AC² = a² + a² = 2a² = BC².

Định lý Pythagore đảo ta có tam giác ABC vuông tại A.

Có SA = SB = AB nên tam giác SAB đều.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 0.

Ta có $\left(\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AB}\right)$ = 180° − $\widehat{SAB}$ = 120°.

Ta có: $\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}=\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB}$

      = |$\overrightarrow{SA}$|.|$\overrightarrow{AB}$|.cos120^o = $\frac{-a^2}{2}$.

Suy ra $\cos \left(\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB}\right)$ = = $\frac{\frac{-a^2}{2}}{a^2}$ = $\frac{-1}{2}$.

Bài 8 trang 61 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a (Hình 10).

Lời giải:

Theo đề bài, hình chóp tứ giác có tất cả các cạnh bằng a nên S.ABCD là hình chóp tứ giác đều do đó đáy ABCD là hình vuông.

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo AC = BD = $a\sqrt{2}$.

Tam giác SAC có SA = SC = a, AC = $a\sqrt{2}$.

Áp dụng định lý Pythagore đảo có SA² + SC² = AC² do đó tam giác SAC vuông cân tại S, suy ra $\widehat{SAC}$ = 45°.

Do đó, $\left(\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AC}\right)$ = 180° − $\widehat{SAC}$ = 180° − 45° = 135°.

$\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AC}$ = |$\overrightarrow{SA}$|.|$\overrightarrow{AC}$| = a.$a\sqrt{2}$.$\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)$ = −a².

Bài 9* trang 61 SBT Toán 12 Tập 1: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn (Hình 11). Độ dài của ba đoạn dây OA, OB, OC đều bằng L (inch). Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 inch (1 inch = 2,54 cm). Gọi F là độ lớn của các lực căng $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2},$$\overrightarrow{F_3}$ trên mỗi sợi dây. Khi đó, F = F(L) là một hàm số với biến số là L.

a) Xác định công thức tính hàm số F = F(L).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số F = F(L).

c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu lực căng tối đa là 10 N.

Lời giải:

a)

Gọi A₁, B₁, C₁ lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow{O{A}_1}=\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{O{B}_1}=\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{O{C}_1}=\overrightarrow{F_3}$. Khi đó, hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{O{A}_1}$ cùng phương, do đó tồn tại số k ≠ 0 sao cho: $\overrightarrow{O{A}_1}=k\overrightarrow{OA}$.

Tương tự, $\overrightarrow{O{B}_1}=k\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{O{C}_1}=k\overrightarrow{OC}$.

Suy ra, F = |$\overrightarrow{F_1}$| = k.|$\overrightarrow{OA}$| = k. L. (1)

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{P}$. Gọi I là tâm của chiếc đèn hình tròn. Vì tam giác ABC là tam giác đều nên I cũng là trọng tâm của tam giác.

Sử dụng quy tắc trọng tâm trong tam giác ABC, ta được:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OI}$ ⇔ $\frac{1}{k}\left({\overrightarrow{OA}}_1+\overrightarrow{O{B}_1}+\overrightarrow{O{C}_1}\right)=3\overrightarrow{OI}$ hay $\overrightarrow{P}=3k.\overrightarrow{OI}$.

Theo giả thiết bài toán, trọng lượng của chiếc đèn là 24 (N) hay |$\overrightarrow{P}$|, do đó OI = $\frac{8}{k}$.

Mặt khác, xét hình chóp tam giác đều O.ABC, có OI vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Khi đó:

OI = $\sqrt{O{A}^2-A{I}^2}$ = $\sqrt{L^2-{18}^2}$ = $\sqrt{L^2-324}$.

Suy ra, $\frac{8}{k}$ = $\sqrt{L^2-324}$ hay k = $\frac{8}{\sqrt{L^2-324}}$.

Thay k = $\frac{8}{\sqrt{L^2-324}}$ vào (1), ta được công thức hàm số F = $\frac{8L}{\sqrt{L^2-324}}$ (N).

b) Khảo sát hàm số F = $\frac{8L}{\sqrt{L^2-324}}$, (L > 18).

$\underset{L\to {18}^{+}}{\lim }$F = +∞, do đó đường thẳng L = 18 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{L\to +\infty }{\lim }$F = 8, do đó đường thẳng F = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: F' = $\frac{-2592}{\left(L^2-324\right).\sqrt{L^2-324}}$ < 0, ∀L > 18.

Do đó hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (18; +∞).

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

c) Khi lực căng của mỗi sợi dây bằng 10 N, ta có:

$\frac{8L}{\sqrt{L^2-324}}$ = 10 ⇒ 8L = 10$\sqrt{L^2-324}$ ⇔ L = 30 (thỏa mãn điều kiện L > 18).

Dựa vào đồ thị hàm số ở câu b, ta thấy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây để lực căng tối đa là 10 N là 30 inch.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 12 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Toạ độ của vectơ

Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm