Hai đường tròn không cắt nhau thì không có điểm chung

Đáp án cần chọn là: D

Vì hai đường tròn có một điểm chung là

A và OO’ = OA + O’A = R + r nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài

Đáp án cần chọn là: C

Vì O₁BD có O₁B // O₂C

nên theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:

 $\frac{O_{2}D}{O_{1}D}=\frac{O_{2}C}{O_{1}B}=\frac{1}{3}$

suy ra  $\frac{O_1{O}_2}{O_{1}D}=\frac{2}{3}$ mà

O₁O₂ = O₁A + O₂A = 3 + 1 = 4  

$\frac{3}{2}$.4 = 6cm

Đáp án cần chọn là: D

Gọi giao điểm của OO’ và GH là I’

Ta có OG // O’H (do cùng vuông góc GH)

Theo định lý Ta-lét trong tam giác OGI’ ta có

$\frac{I\text{'}O}{I\text{'}O\text{'}}=\frac{OG}{O\text{'}H}=\frac{R}{R\text{'}}$  

hay $\frac{I\text{'}O}{I\text{'}O\text{'}}=\frac{OI}{O\text{'}I}=\frac{R}{R\text{'}}$

$\Rightarrow$ I’ trùng với I

Vậy BD, OO’ và GH đồng quy.

Đáp án cần chọn là: A

+) Theo tính chất đoạn nối tâm của hai đường tròn tiếp xúc ngoài ta có:

AB = BC’ + C’A = 25cm;

AC = AB’ + B’C = 25cm;

BC = BA’ + A’C = 30cm

và A’ là trung điểm của BC

(vì A’B = A’C = 15cm)

$△$ABC cân tại A có AA’ là đường trung tuyến nên cũng là đường cao

$\perp$BC  

$\Rightarrow$AA’ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (B) và (C)

Xét tam giác AA’C vuông tại A’ có:

A’A² = AC² – A’C²

= 25² – 15² = 400

$\Rightarrow$ A’A = 20cm

Đáp án cần chọn là: A

Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) (R > r) cắt nhau.

Khi đó (O) và (O’) có hai điểm chung và đường nối tâm là đường trung trực của đoạn AB.

Hệ thức liên hệ R – r < OO’ < R + r

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: AI =  $\frac{1}{2}$AB = 4cm

Theo định lý Pytago ta có:

OI² = OA² – AI² = 10² – 4⁴ = 84  

$\Rightarrow$OI = 2 và

O’I = $\sqrt{5^2-4^2}$ = 3

Do đó :

OO’ = OI – O’I =  2$\approx$ 6,2(cm)

Đáp án cần chọn là: D

Vì OH $\perp$ xy, nên H là một điểm cố định và OH không đổi

Gọi giao điểm của AB và OM là E; giao điểm của AB với OH là F

Vì (O; R) và đường tròn đường kính OM cắt nhau tại A; B nên AB $\perp$ OM

Lại có điểm A nằm trên đường tròn đường kính OM nên $\widehat{OAM}$ = 90^o

Xét $△$OHM có

$\widehat{OHM}$ = 90^o

nên $△$OHM (g – g)

Suy ra  $\frac{OE}{OH}=\frac{OF}{OM}$

$\Rightarrow$OE.OM = OF.OH

Xét $△$MAO vuông tại A có AE là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

OM.OE = OA² = R²

$\frac{R^2}{OH}$ 

Do OH không đổi nên OF cũng không đổi

Vậy F là một điểm cố định hay AB luôn đi qua một điểm cố định là giao của AB và OH

Đáp án cần chọn là: C

Ta có OA = O’A = 5cm nên tam giác AOO’ cân tại A

Mà AH vuông góc với OO’ nên H là trung điểm của OO’.

Suy ra OH = 4cm

Xét tam giác AOH vuông tại H nên suy ra

AH² = OA² – OH² = 5² – 4² = 9 = 3²

Vậy AH = 3cm

Mà AB = 2AH (mối quan hệ giữa đường nối tâm và dây cung)

Vậy AB = 6cm

Đáp án cần chọn là: A

Vì P là điểm đối xứng với M qua OO’

Q là điểm đối xứng với N qua OO’ nên MN = PQ

P$\perp$OO’;

NQ$\Rightarrow$MP // NQ mà MN = PQ

nên MNPQ là hình thang cân

Kẻ tiếp tuyến chung tại A của (O);

(O’) cắt MN; PQ lần lượt tại B; C

Ta có MNPQ là hình thang cân nên  

Tam giác OMP cân tại O

nên $\widehat{OMP}=\widehat{OPM}$ suy ra 

$$\begin{gathered} \widehat{OMP}+\widehat{PMN}=\widehat{OPM}+\widehat{MPQ} \\ \Rightarrow \widehat{QPO}={90}^o \end{gathered}$$

 $\in$(O) nên PQ là tiếp tuyến của (O).

Chứng minh tương tự ta có PQ là tiếp tuyến của (O’)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

BA = BM = BN; CP = CA = CQ

suy ra B; C lần lượt là trung điểm của MN; PQ

và MN + PQ = 2MB + 2 PC

    = 2AB + 2AC = 2BC

Lại có BC là đường trung bình của hình thang MNPQ

nên MP + NQ = 2BC

Do đó MN + PQ = MP + NQ

Đáp án cần chọn là: A

Xét đường tròn (O) có O’C là đường kính,

suy ra $\widehat{CBO\text{'}}=\widehat{CAO\text{'}}$ = 90^o hay

CB $\perp$ AO’ tại A

Do đó AC; BC là hai tiếp tuyến của (O’)

nên AC = CB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên A, B, C đúng

Đáp án cần chọn là: D

Xét nửa đường tròn (O’) có AO là đường kính

và C$\widehat{ACO}$= 90^o

 $\perp$ CO

Xét đường tròn (O) có OA = OD

$△$OAD cân tại O

có OC là đường cao nên OC cũng là đường trung tuyến hay C là trung điểm của AD

Xét tam giác AOD có O’C là đường trung bình nên O’C // OD

Kẻ các tiếp tuyến Cx; Dy với các nửa đường tròn ta có

Cx$\perp$OD

mà O’C // OD nên Cx //Dy

Do đó phương án A, B, C đúng

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: |R₁ – R₂| = 8 – 5 = 3;

R₁ + R₂ = 8 + 5 = 13

|R₁ – R₂| < OO’ < R₁ + R₂ = 7 + 5 = 12

$\Rightarrow$ hai đường tròn cắt nhau

Đáp án cần chọn là: D