Đáp án đúng là: D

$\frac{{\text{x}}^2+4}{0}$ không phải là phân thức đại số.

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\text{5x}}^{\text{2}}{\text{y}}^{\text{3}}{\text{.15x}}^{\text{2}}{\text{y = 75x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}$ và ${\text{3.25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}{\text{ = 75x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}$

$\Rightarrow {\text{5x}}^{\text{3}}{\text{y}}^{\text{3}}{\text{.15x}}^{\text{2}}{\text{y = 3.25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}\Rightarrow \frac{{\text{5x}}^{\text{2}}{\text{y}}^{\text{3}}}{\text{3}}\text{=}\frac{{\text{25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}}{{\text{15x}}^{\text{2}}\text{y}}$.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện:${\text{x}}^2-2\text{x}+1\ne 0\iff {\left(\text{x}-1\right)}^2\ne 0\iff \text{x}-1\ne 0\iff \text{x}\ne 1$

Ta có: $\frac{{\text{x}}^2-1}{{\text{x}}^2-2\text{x}+1}=0\iff {\text{x}}^2-1=0\iff {\text{x}}^2=1\iff \left[\begin{array}{c}x=1\left(L\right)\\ x=-1\left(TM\right)\end{array}\right.$

Vậy có 1 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: C

Với $\text{x}\ne \pm \frac{3}{2}$, ta có:

$\frac{\text{M}}{\text{2x}-\text{3}}\text{=}\frac{{\text{6x}}^{\text{2}}\text{+ 9x}}{{\text{4x}}^{\text{2}}-\text{9}}$

$M\left(4x^2-9\right)=\left(6x^2+9x\right)\left(2x-3\right)$

$\text{M}\left(2\text{x}-3\right)\left(2\text{x}+3\right)=3\text{x}\left(2\text{x}+3\right)\left(2\text{x}-3\right)$

$\Rightarrow \text{M}=3\text{x}$

Đáp án đúng là: B

Để phân thức $\frac{2\text{x}-5}{3}<0$ thì $2\text{x}-5<0$ hay $2\text{x}<5$.

Do đó $\text{x < }\frac{5}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Lời giải

Ta có: ${\text{x}}^2-2\text{x}+5={\text{x}}^2-2\text{x}+1+4={\left(\text{x}-1\right)}^2+4$

Vì ${\left(\text{x}-1\right)}^2\ge 0\forall \text{x}\in ℝ$ nên ${\left(\text{x}-1\right)}^2+4\ge 4\forall \text{x}\in ℝ$ hay ${\text{x}}^2-2\text{x}+5\ge 4$.

Do đó $\frac{16}{{\text{x}}^2-2\text{x}+5}\le \frac{16}{4}$ hay $\text{A}\le 4$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left(\text{x}-1\right)}^2=0$ hay x = 1.
Vậy với x = 1 thì A đạt giá trị lớn nhất là 4.

*Phương pháp giải:

1. Cho biểu thức f(x,y..). ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x, y, ..) kí hiệu max f = M nếu thỏa mãn hai điều kiện sau đây

(1) với mọi x, y, .. để f(x, y, ..) xác định thì f(x, y, ..) ≤ M (M là hằng số)

(2) Tồn tại x₀, y₀,.. sao cho f(x₀, y₀ , ..) = M

2. Cho biểu thức f(x,y..). ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x, y, ..) kí hiệu min f = m nếu thỏa mãn hai điều kiện sau đây

(1)Với mọi x, y, .. để f(x, y, ..) xác định thì f(x, y, ..) ≥ m (m là hằng số)

(2)Tồn tại x₀, y₀,.. sao cho f(x₀, y₀, ..) = m

*Lý thuyết:

1. Phân thức đại số

Một phân thức đại số (hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$, trong đó A, B là hai đa thức và B khác đa thức 0.

A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Nhận xét. Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1.

Số 0 và số 1 cũng là các phân thức đại số

Ví dụ:

$\frac{2x+1}{x-3};\frac{ab}{a+b};x^2+3x+2;\sqrt{2}$ là các phân thức đại số.

$\sqrt{x};\sqrt[3]{x}$ không phải là phân thức vì $\sqrt{x};\sqrt[3]{x}$ không phải là đa thức.

2. Hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C.

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ nếu AD = BC.

Ví dụ: Hai phân thức $\frac{x{y}^2}{xy+y}$ và $\frac{xy}{x+1}$ bằng nhau vì $x{y}^2.(x+1)=xy(xy+y)$

3. Giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến

Giá trị của phân thức tại các giá trị đã cho của biến là biểu thức số (nếu mẫu số nhận được là số khác 0) khi thay các biến trong phân thức đó bằng các số đã cho.

Để tính giá trị của phân thức tại những giá trị cho trước của biến, ta thay các giá trị cho trước của biến vào phân thức đó rồi tính giá trị của biểu thức số nhận được.

4. Điều kiện xác định của phân thức

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức B khác 0.

Xem thêm

Đáp án đúng là: D

Do a > b > 0 nên a – b > 0, a + b > 0

Khi đó (a – b)(a + b) > 0

Ta có:$\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}\text{=}\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{\left(\text{a}-\text{b}\right)\left(\text{a + b}\right)}\text{=}\frac{\text{a + b}}{\text{a}-\text{b}}$

Nhân cả tử và mẫu của phân thức với (a−b) ta được:

Đáp án đúng là: C

$\frac{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{7x + 12}}{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{6x + 9}}\text{=}\frac{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{4x}-\text{3x + 12}}{{\left(\text{x}-\text{3}\right)}^{\text{2}}}$

$\text{=}\frac{\text{x}\left(\text{x}-\text{4}\right)-\text{3}\left(\text{x}-\text{4}\right)}{{\left(\text{x}-\text{3}\right)}^{\text{2}}}\text{=}\frac{\left(\text{x}-\text{4}\right)\left(\text{x}-\text{3}\right)}{{\left(\text{x}-\text{3}\right)}^{\text{2}}}\text{=}\frac{\text{x}-\text{4}}{\text{x}-\text{3}}$.

Đáp án đúng là: D

Mẫu thức của hai phân thức $\frac{5}{2\left(\text{x}-3\right)},\frac{7}{{\left(\text{x}-3\right)}^3}$ là 2(x – 3) và ${\left(\text{x}-3\right)}^3$ nên mẫu thức chung có phần hệ số là 2, phần biến số là ${\left(\text{x}-3\right)}^3$.

Do đó mẫu thức chung là $2{\left(\text{x}-3\right)}^3$.

Đáp án đúng là: A

Mẫu chung của các phân thức là xyz

Nhân tử phụ của $\frac{1}{x}$là yz nên $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}$

Nhân tử phụ của  $\frac{2}{y}$là xz nên $\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2xz}}{\text{xyz}}$

Nhân tử phụ của $\frac{3}{z}$là xy nên $\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3xy}}{\text{xyz}}$
Vậy quy đồng mẫu số các phân thức $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}$ ta được

$\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2xz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3xy}}{\text{xyz}}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có các phân thức $\frac{\text{1}}{\text{2}-\text{x}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{2x + 1}}{{\left(\text{x}-\text{2}\right)}^{\text{2}}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{{\text{3x}}^{\text{2}}-\text{1}}{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ 4x + 4}}$ có mẫu thức lần lượt là: $2-\text{x;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\left(\text{x}-2\right)}^2$ và${\text{x}}^2+4\text{x}+4={\left(\text{x}+2\right)}^2$ nên mẫu thức chung là${\left(\text{x}-2\right)}^2{\left(\text{x}+2\right)}^2$.

Đáp án đúng là: B

Ta có các phân thức $\frac{\text{2x}}{\text{3}-\text{3x}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{5x}-\text{4}}{\text{4x + 4}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ x + 1}}{\text{2}\left({\text{x}}^{\text{2}}-\text{1}\right)}$ có mẫu thức lần lượt là:

3 – 3x = 3(1 – x); 4x + 4 = 4(x + 1) và 2(x2 – 1) = 2(x – 1)(x + 1)

Vì (x – 1)(x + 1) = x2 – 1 và BCNN(2; 3; 4) = 12 nên mẫu thức chung của các phân thức$\frac{\text{2x}}{\text{3}-\text{3x}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{5x}-\text{4}}{\text{4x + 4}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ x + 1}}{\text{2}\left({\text{x}}^{\text{2}}-\text{1}\right)}$ là 12(x – 1)(x + 1)

Vậy An sai, Bình đúng.