Điều kiện: $x\ne -1$

Phương trình $\frac{b}{x+1}=a \left(1\right)$$\iff a\left(x+1\right)=b\iff ax=b-a \left(2\right)$

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khác -1

$\iff \left\{\begin{array}{c}a\ne 0\\ \frac{b-a}{a}\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a\ne 0\\ b-a\ne a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a\ne 0\\ b\ne 0\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: C

Điều kiện: $x\ne 1$

Phương trình $\frac{b}{x+1}=a \left(1\right)$$\iff a\left(x+1\right)=b\iff ax=b-a \left(2\right)$

Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ Phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất $x=-1$

$\iff \left[\begin{array}{c}a=0,b-a\ne 0\\ \frac{b-a}{a}=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}a=0,b\ne 0\\ b=0,a\ne 0\end{array}\right.$

Vậy $\left[\begin{array}{c}a\ne 0,b=0\\ a=0,b\ne 0\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện: $x\ne 1$

Phương trình: $2x+\frac{3}{x-1}=\frac{3x}{x-1}$

$\iff 2x(x-1)+3=3x\iff 2x^2-5x+3=0$$\iff \left[\begin{array}{c}x=1\left(l\right)\\ x=\frac{3}{2}\left(n\right)\end{array}\right.$

Vậy $S=\left\{\frac{3}{2}\right\}$

Đáp án cần chọn là: C

Điều kiện: $x\ne 1$

Phương trình $-2x+\frac{1}{x+1}=1$

$\iff -2x(x+1)+1=x+1$$\iff -2x^2-3x=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Vậy $S=\left\{0,-\frac{3}{2}\right\}$

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện: $x\ne 0$

Phương trình thành $\left(m^2+2\right)x+3m=2x\iff m^{2}x=-3m$

Vì $m\ne 0$ suy ra $x=-\frac{3}{m}$

Đáp án cần chọn là: A

$\frac{\left(m^2+1\right)x-1}{x+1}=1\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne -1\\ \left(m^2+1\right)x-1=x+1\end{array}\iff x=\frac{2}{m^2}\right.$

Dễ thấy $x=\frac{2}{m^2}>0,\forall m\ne 0$ nên $x\ne -1$

Đáp án cần chọn là: D

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}x\ne 1\\ x\ne -1\end{array}\right.$

Phương trình (1) trở thành

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

⇔ Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác −1 và 1

$\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ \frac{m+2}{m}\ne 1\\ \frac{m+2}{m}\ne -1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m+2\ne m\\ m+2\ne -m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ 2\ne 0\\ m\ne -1\end{array}\left(ld\right)\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m\ne -1\end{array}\right.\right.$

Đáp án cần chọn là: C

$\frac{x-m}{x+1}=\frac{x-2}{x-1}\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne \pm 1\\ mx=m+2\end{array}\right.$

Phương trình đã cho có nghiệm $\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ x=1+\frac{2}{m}\ne \pm 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m\ne 1\end{array}\right.$

Vì m ∈ Z, m ∈ [−3; 5] nên m ∈ S = {−3; −2; 1; 2; 3; 4; 5}.

Đáp án cần chọn là: D

Điều kiện: $x\ne 1$

Phương trình (1) thành:

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

⇔ Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác 1 hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng 1

$\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}\Delta =0\\ x=-\frac{b}{2a}\ne 1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}\Delta >0\\ f\left(1\right)=0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{a}^2-4a-4=0\\ \frac{a+2}{2}\ne 1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}{a}^2-4a-4>0\\ 1-2-a+2a+2=0\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{a}^2-4a-4=0\\ a+2\ne 2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}{a}^2-4a-4>0\\ a+1=0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}a=2+2\sqrt{2}\\ a=2-2\sqrt{2}\\ a=-1\end{array}\right.$

Với $a=2+2\sqrt{2}$ phương trình có nghiệm là $x=2+\sqrt{2}$

Với $a=2-2\sqrt{2}$ phương trình có nghiệm là $x=2-\sqrt{2}$

Với a = -1 phương trình có nghiệm là: $\left[\begin{array}{c}x=0\left(n\right)\\ x=1\left(l\right)\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $\frac{x^2+mx+2}{x^2-1}=1\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne \pm 1\\ mx=-3\end{array}\right.$

Phương trình đã cho vô nghiệm $\Rightarrow \left[\begin{array}{c}m=0\\ \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ -\frac{3}{m}=\pm 1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=\pm \end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $\left|ax+b\right|=\left|cx+d\right|$$\iff \left[\begin{array}{c}ax+b=cx+d\\ ax+b=-cx-d\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $\left|ax+b\right|=cx+d\iff \left\{\begin{array}{c}cx\text{+}d\ge 0\\ ax+b=\pm \left(cx+d\right)\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: C

$\left|x-2\right|=\left|3x-5\right|\left(1\right)\iff \left[\begin{array}{c}x-2=3x-5\\ x-2=5-3x\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}2x=3\\ 4x=7\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{3}{2}\\ x=\frac{7}{4}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình $\iff {\left(x+2\right)}^2=4{\left(x-2\right)}^2\iff 3x^{2}20x+12=0$

Do đó, tổng các nghiệm của phương trình bằng $-\frac{b}{a}=\frac{20}{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình$\iff \left[\begin{array}{c}2x+1=x^2-3x-4\\ 2x+1=-(x^2-3x-4)\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}{x}^2-5x-5=0\\ x^2-x-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{5\pm \sqrt{45}}{2}\\ x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

$\left|2x-4\right|+\left|x-1\right|=0\iff \left\{\begin{array}{c}2x-4=0\\ x-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=2\\ x=1\end{array}\right.\left(vl\right)$

Suy ra $S=\varnothing$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}\left|2x-5\right|\ge 0\\ \left|2x^2-7x+5\right|\ge 0\end{array}\right.\Rightarrow \left|2x-5\right|+\left|2x^2-7x+5\right|\ge 0$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{c}2x-5=0\\ 2x^2-7x+5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{5}{2}\\ x=1\vee x=\frac{5}{2}\end{array}\iff \right.x=\frac{5}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:  |2x − 4| − 2x + 4 = 0

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình $\iff \left\{\begin{array}{c}x-3\ge 0\\ {\left(2x-1\right)}^2={\left(x-3\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 3\\ 3x^2+2x-8=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 3\\ \left[\begin{array}{c}x=\frac{4}{3}\\ x=-2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x\in \varnothing \Rightarrow S=\varnothing$

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình $\iff \left\{\begin{array}{c}x+4\ge 0\\ {\left(x^2+5x+4\right)}^2={\left(x+4\right)}^2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -4\\ {\left(x^2+5x+4\right)}^2-{\left(x+4\right)}^2=0\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -4\\ (x^2+6x+8)(x^2+4x)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -4\\ \left[\begin{array}{c}{x}^2+6x+8=0\\ x^2+4x=0\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -4\\ \left[\begin{array}{c}x=-2,x=-4\\ x=0,x=-4\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=-2\\ x=-4\end{array}\right.\Rightarrow 0+(-2)+(-4)=-6$

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình $\iff \left\{\begin{array}{c}4x-17\ge 0\\ \left|x^2-4x-5\right|={\left(4x-17\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge \frac{17}{4}\\ {\left(x^2-5x-5\right)}^2={\left(4x-17\right)}^2\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge \frac{17}{4}\\ (x^2-8x+12)(x^2-22)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge \frac{17}{4}\\ \left[\begin{array}{c}{x}^2-8x+12=0\\ x^2-22=0\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge \frac{17}{4}\\ \left[\begin{array}{c}x=2\vee x=6\\ x=\pm \sqrt{22}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=6\\ x=\sqrt{22}\end{array}\right.\\ \Rightarrow P={\left(\sqrt{22}\right)}^2+6=28\end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}2x-3\ne 0\\ \left|x+1\right|\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne \frac{3}{2}\\ x\ne -1\end{array}\right.$

Phương trình (1) trở thành: $\left|x+1\right|\left(x-1\right)=\left(-3x+1\right)\left(2x-3\right)$

TH1: $x\ge 1$

Phương trình thành $x^2-1=-6x^2+11x-3\iff 7x^2-11x+2=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{11+\sqrt{65}}{14}\left(n\right)\\ x=\frac{11-\sqrt{65}}{14}\left(n\right)\end{array}\right.$

TH2: $x<-1$

Phương trình thành $-x^2+1=-6x^2+11x-3\iff 5x^2-11x+4=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{11+\sqrt{41}}{10}\left(l\right)\\ x=\frac{11-\sqrt{41}}{10}\left(l\right)\end{array}\right.$

Vậy $S=\left\{\frac{11+\sqrt{65}}{14};\frac{11-\sqrt{65}}{14}\right\}$

Đáp án cần chọn là:C 

Điều kiện: $x>2$

Ta có: $\frac{x^2-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2}$$\iff x^2-4x-2=x-2\iff x^2-5x=0$

Vậy S = {5}.

Đáp án cần chọn là: D

Điều kiện $x-2>0\iff x>2$

$\left(1\right)\iff x^2-\left(2m+3\right)x+6m=0\left(2\right)$, phương trình luôn có nghiệm là $x=3$ và $x=2m$

Phương trình  (1) có duy nhất 1 nghiệm $\iff \left[\begin{array}{c}2m\le 2\\ 2m=3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m\le 1\\ m=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Điều kiện: $x\ge a$

Phương trình thành $\left[\begin{array}{c}{x}^2-5x+4=0\\ x-a=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=4\\ x=1\\ x=a\end{array}\right.$

+) Nếu $a<1$ thì phương trình có ba nghiệm phân biệt $x=a$, $x=1$, $x=4$ nên không thỏa mãn yêu cầu.

+) Nếu $1\ge a<4$ thì do điều kiện $x\ge a$ nên ta loại nghiệm $x=1$, do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=a$, $x=4$ (thỏa mãn)

+) Nếu $a=4$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=a=4$ (không thỏa mãn).

+) Nếu $a>4$ thì do điều kiện $x\ge a$ nên ta loại hai nghiệm $x=1$, $x=4$, do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x=a$ (không thỏa mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\iff 1\le a<4$

Đáp án cần chọn là: B

Trường hợp 1: x < −2

Phương trình thành: $3-x-2x-4\iff 3x=-4\iff x=-\frac{4}{3}\left(1\right)$

Trường hợp 2: $-2\le x\le 3$

Phương trình thành: $3-x+2x+4=3\iff x=-4\left(1\right)$

Trường hợp 3: x > 3

Phương trình thành: $x-3+2x+4=3\iff 3x=2\iff x=\frac{2}{3}\left(1\right)$

Vậy $S=\varnothing$

Đáp án cần chọn là: D

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\ne 2\end{array}\right.$

Phương trình thành: $x^2-1+|x+1|=2\left|x\right|\left(x-2\right)$

TH 1: x < −1

Phương trình thành: $x^2-1-x-1=2\left(-x\right)\left(x-2\right)$

$\iff 3x^2-5x-2=0\iff \left[\begin{array}{c}x=2\left(l\right)\\ x=\frac{-1}{3}\left(l\right)\end{array}\right.$

TH 2: −1 ≤ x ≤ 0

Phương trình thành: $x^2-1+x+1=-2x\left(x-2\right)$

$\iff 3x^2-3x=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\left(l\right)\\ x=1\left(l\right)\end{array}\right.$

TH3: x > 0

Phương trình thành: $x^2-1+x+1=2x\left(x-2\right)$

$\iff x^2-5x=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\left(l\right)\\ x=5\left(n\right)\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình tương đương với $4x^2-4x-\left|2x-1\right|-1=0$

Đặt $t=\left|2x-1\right|, t\ge 0$. Suy ra $t^2=4x^2-4x=1\Rightarrow 4x^2-4x=t^2-1$

Phương trình trở thành $t^2-1-t-1=0\iff t^2-t-2=0\iff \left[\begin{array}{c}t=-1\left(KTM\right)\\ t=2\left(TM\right)\end{array}\right.$

Với $t=2$, ta có $\left|2x-1\right|=2\iff \left[\begin{array}{c}2x-1=2\\ 2x-1=-2\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{3}{2}\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)=1$

Đáp án cần chọn là: B

Đặt $t=\left|x+1\right|, t\ge 0$

Phương trình trở thành $t^2-3t+2=0\iff t=1$

- Với $t=1$ ta có |$\left|x+1\right|=1\iff x+1=\pm 1\iff x=-2$ hoặc $x=0$

- Với $t=2$ ta có $\left|x+1\right|=2\iff x+1=\pm 2\iff x=-3$ hoặc $x=1$ hoặc $t=2$

Vậy phương trình có bốn nghiệm là $x=-3$, $x=-2$, $x=0$, $x=1$.

Đáp án cần chọn là: D

Điều kiện: x > 4

Phương trình trở thành:

$\left|x-3\right|=x-3\iff \left\{\begin{array}{c}x-3\ge 0\\ \left[\begin{array}{c}x-3=x-3\\ x-3=3-x\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 3\\ \left[\begin{array}{c}0x=0\\ x=3\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x\ge 3$

Vậy T = (4; +∞).

Đáp án cần chọn là: C

$\left|x\right|+1=x^2+m\iff m=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}-x^2+x+1khix\ge 0\\ -x^2-x+1khix<0\end{array}\right.$

Biểu diễn đồ thị hàm số f(x) lên hệ trục tọa độ như hình vẽ bên trên:

+ Vẽ đồ thị hàm số $y=-x^2+x+1$

+ Giữ nguyên nhánh đồ thị bên phải trục tung và lấy đối xứng nó qua trục tung.

+ Xóa bỏ phần bên trái trục tung trước đó đi.

Dựa vào đồ thị ta suy ra không tồn tại m để phương trình $m=f\left(x\right)$ có duy nhất 1 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

Dễ thấy, $x=0$ không là nghiệm của phương trình đã cho.

- Xét $x\in \left(-\infty ;0\right)$:

Phương trình trở thành $-3x+2ax=-1\iff \left(2a-3\right)x=-1 \left(1\right)$

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi $2a-3\ne 0\iff a\ne \frac{3}{2}$

Khi đó, nghiệm của phương trình là $x=\frac{-1}{2a-3}$. Mà

$x<0\Rightarrow \frac{-1}{2a-3}<0\iff 2a-3>0\iff a>\frac{3}{2}$

- Xét x ∈ (0; +∞):

Phương trình trở thành $3x+2ax=-1\iff \left(2a+3\right)x=-1 \left(2\right)$

Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi $2a+3\ne 0\iff a\ne -\frac{3}{2}$

Khi đó, nghiệm của phương trình là $x=\frac{-1}{2a+3}$. Mà $x.0\Rightarrow \frac{-1}{2a+3}>0$

$\iff 2a+3<0\iff a<-\frac{3}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Trường hợp 1: $x\le 2$

Phương trình thành: $-x-2-3x+5+2x-7=0\iff -2x=4\iff x=-2 \left(n\right)$

Trường hợp 2: $-2<x<\frac{5}{3}$

Phương trình thành: $x+2-3x+5+2x-7=0\iff 0x=0 \left(Id\right)$

Suy ra: $-2<x<\frac{5}{3}$

Trường hợp 3: $\frac{5}{3}\le x\le \frac{7}{2}$

Phương trình thành: $x+2+3x-5+2x-7=0\iff 6x=10\iff x=\frac{5}{3}$

Trường hợp 4: $x>\frac{7}{2}$

Phương trình thành: $x+2+3x-5-2x+7=0\iff 2x=-4\iff x=-2$

Vậy $S=\left[-2;\frac{5}{3}\right]$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: $\frac{x^2}{2}-2x+\frac{3}{2}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}\right.$; $\frac{x^2}{2}-3x+4=0\iff \left[\begin{array}{c}x=2\\ x=4\end{array}\right.$

Từ đó ta phá dấu giá trị tuyệt đối của mỗi biểu thức như sau:

TH1: $x\le 1$

Phương trình thành: $\frac{x^2}{2}-2x+\frac{3}{2}+\frac{x^2}{2}-3x+4$$\iff x^2-5x+\frac{19}{4}=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{5+\sqrt{6}}{2}\left(l\right)\\ x=\frac{5-\sqrt{6}}{2}\left(l\right)\end{array}\right.$

TH2: 1 < x < 2

Phương trình thành: $-\frac{x^2}{2}+2x-\frac{3}{2}+\frac{x^2}{2}-3x+4=\frac{3}{4}$$\iff x=\frac{7}{4}\left(n\right)$

TH3: $2\le x\le 3$

Phương trình thành: $-\frac{x^2}{2}+2x-\frac{3}{2}-\frac{x^2}{2}+3x-4=\frac{3}{4}$

$\iff -x^2+5x-\frac{25}{4}=0$$\iff x=\frac{5}{2}\left(n\right)$

TH4: 3 < x < 4

Phương trình thành: $\frac{x^2}{2}-2x+\frac{3}{2}+\frac{x^2}{2}-3x+4=\frac{3}{4}$$\iff x=\frac{13}{4}\left(n\right)$

TH5: $x\ge 4$

Phương trình thành: $\frac{x^2}{2}-2x+\frac{3}{2}+\frac{x^2}{2}-3x+4=\frac{3}{4}$

$\iff x^2-5x+\frac{19}{4}=0$$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{5+\sqrt{6}}{2}\left(l\right)\\ x=\frac{5-\sqrt{6}}{2}\left(l\right)\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: D