Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $z={\left(\sqrt{2}+3i\right)}^2=2+6\sqrt{2}i+9i^2$

$=-7+6\sqrt{2}i$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Giả sử  $z=a+bi\left(a,b\in R\right)$

$\Rightarrow \overline{z}=a-bi$

Ta có: $z+\overline{z}=a+bi+a-bi=2a$ là một số thực

$\Rightarrow A$  đúng.

$z-\overline{z}=a+bi-a+bi=2bi$ là một số ảo  

$\Rightarrow$B đúng

$z.\overline{z}=\left(a+bi\right).\left(a-bi\right)=a^2+b^2$ là một số thực  

$\Rightarrow$C đúng

$z^2+{\overline{z}}^2={\left(a+bi\right)}^2+{\left(a-bi\right)}^2$

$=2a^2-2b^2$ là một số thực

$\Rightarrow$ D sai

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $z_1=1+2i;z_2=2-3i$

$\Rightarrow 3z_1-2z_2=3\left(1+2i\right)-2\left(2-3i\right)$

$=3+6i-4+6i=-1+12i$

Vậy phần ảo của số phức đó là 12

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Số phức liên hợp của số phức $z=3+2i$ là $\overline{z}=3-2i$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Ta có $M\left(2;1\right)$ biểu diễn số phức z $\Rightarrow z=2+i\Rightarrow \overline{z}=2-i$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Ta có:

$z\left(1+i\right)=3-5i$

$\iff z=\frac{3-5i}{1+i}=\frac{(3-5i)(1-t)}{1-i^2}$

$=-1-4i$

$\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{17}$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Phương trình $8z^2-4z+1=0$

Có $\Delta \text{'}=4-8=-4=4i^2$ 

$\Rightarrow$ phương trình có 2 nghiệm là:

$z_1=\frac{2+2i}{8}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i;$

$z_2=\frac{2-2i}{8}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

1) Sai vì nếu $\Delta <0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\pm i\sqrt{\left|\Delta \right|}$ do đó phương trình có 2 nghiệm phức

2) Đúng

3) Đúng

Vậy có 2 mệnh đề đúng

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Ta có:

 ${\left(1+i\right)}^2\left(2-i\right)z=8+i+\left(1+2i\right)z$

$\iff \left(1+2i+i^2\right)\left(2-i\right)z=8+i+\left(1+2i\right)z$

$\iff \left(2+4i\right)z=8+i+\left(1+2i\right)z$

$\iff \left(1+2i\right)z=8+i$

$\Rightarrow z=\frac{8+i}{1+2i}=\frac{\left(8+i\right)\left(1-2i\right)}{\left(1+2i\right)\left(1-2i\right)}$

$=\frac{10-15i}{1^2+2^2}=2-3i$

Phần thực của số phức z là: 2

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Vì $\left|z-\left(3+4i\right)\right|=\sqrt{5}$

$\Rightarrow {(x-3)}^2+{(y-4)}^2=5$

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có tâm I (3; 4) và bán kính  $R=\sqrt{5}$

Ta có:  

$P={\left|\left(x+2\right)+yi\right|}^2-{\left|x+\left(y-1\right)i\right|}^2$

$={(x+2)}^2+y^2-[x^2+{\left(y-1\right)}^2]$

$=4x+2y+3$

$\iff 4x+2y+3-P=0$

Ta tìm P sao cho đường thẳng $\Delta :4x+2y+3-P=0$ và đường tròn (C) có điểm chung

$\iff d\left[I,\Delta \right]\le R$

$\iff \frac{|12+8+3-P|}{\sqrt{20}}\le \sqrt{5}$

$\iff |23-P|\le 10$

$\iff 13\le P\le 33$

Do đó $P_{\max }=33$.

Dấu “=” xảy ra

$\iff \left\{\begin{array}{c}4x+2y-30=0\\ {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=5\end{array}\right.$ 

$\iff \{\begin{array}{c}x=5\\ y=5\end{array}$

Vậy $\left|z\right|=\sqrt{5^2+{\left(-5\right)}^2}=5\sqrt{2}$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Đặt $z_3=i{z}_2\Rightarrow z_3^2=-z_2^2$

$\Rightarrow S=|z_1^2+4z_2^2|=|z_1^2-4z_3^2|$

$=|z_1-2z_3||z_1+2z_3|$ 

M, N là các điểm biểu diễn cho $z_1,z_3$

$\Rightarrow OM=2,ON=\left|z_3\right|$

$=\left|i{z}_2\right|=\left|i\right|.\left|z_2\right|=\sqrt{3}$

Gọi P là điểm biểu diễn cho $2z_3$ và Q là điểm biểu diễn cho $-2z_3$, ta có N là trung điểm của OP và P, Q đối xứng nhau qua O. Khi đó $S=MP.MQ$  

Áp dụng định lí Cosin trong $\Delta OMP$ có:

$M{P}^2=O{P}^2+O{M}^2-2OP.OM.\cos 30$

$=12+4-\mathrm{2.2.}\sqrt{3}\mathrm{.2.}\frac{\sqrt{3}}{2}=4$

$\Rightarrow MP=2$

Áp dụng định lí cô sin trong $\Delta OMQ$ có:

$M{Q}^2=O{M}^2+O{Q}^2-2OM.OQ.\cos 150°$

$=4+12+\mathrm{2.2.2.}\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=28$

$\Rightarrow MQ=2\sqrt{7}$

$\Rightarrow S=MP.MQ=2.2\sqrt{7}=4\sqrt{7}$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có:

$2=\left|z_1+1-i\right|$

$=|z_1+\left(1-i\right)|\ge \left|z_1\right|-|1-i|$

$=\left|z_1\right|-\sqrt{2}$

$\Rightarrow \left|z_1\right|-\sqrt{2}\le 2\Rightarrow \left|z_1\right|\le 2+\sqrt{2}$

Lại có:

$z_2=i{z}_1$

$\Rightarrow |z_1-z_2|=|z_1-i{z}_1|$

$=\left|\left(1-i\right)z_1\right|=\sqrt{2}\left|z_1\right|\le \sqrt{2}(2+\sqrt{2})$

$=2\sqrt{2}+2$

$\Rightarrow \max \left|z_1-z_2\right|=2\sqrt{2}+2$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Điểm biểu diễn của số phức z là $M\left(1;2\right)\Rightarrow z=1+2i$ 

$w=z-2\overline{z}$

$=\left(1+2i\right)-2\left(1-2i\right)$

$=-1+6i$

$\Rightarrow$ Điểm biểu diễn của số phức $w=z-2\overline{z}$ là $\left(-1;6\right)$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

$z^2-4z+5=0\iff z_{1,2}=2\pm i$

$P=\left(z_1-2z_2\right).\overline{z_2}-4z_1$

$P=\left(2+i-2\left(2-i\right)\right).\left(2-i\right)-4\left(2+i\right)$

$P=\left(-2+3i\right).\left(2-i\right)-4\left(2+i\right)$

$P=-1+8i-8-4i=-9+4i$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Đặt $z=a+bi,\left(a,b\in R\right)$ 

$iz+\left(1-i\right)\overline{z}=-2i$

$\iff i(a+bi)+(1-i)(a-bi)=-2i$

$\iff ai-b+a-b-ai-bi=-2i$

$\iff -bi+a-2b=-2i$

$\iff \left\{\begin{array}{c}-b=-2\\ a-2b=0\end{array}\right.$

$\iff \{\begin{array}{c}b=2\\ a=4\end{array}\Rightarrow a+b=6$

Tổng của phần thực và phần ảo là: 6

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Phương trình: $z^2-2z+5=0$

Có: $\Delta \text{'}=1-5=-4=4i^2$  $\Rightarrow \sqrt{\Delta \text{'}}=\sqrt{4i^2}=2i$

$\Rightarrow$ Phương trình có 2 nghiệm là: $z_1=1+2i;z_2=1-2i$ 

Khi đó $A\left(1;2\right),B\left(1;-2\right)$ 

Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là (1;0)

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

+ Xét phương trình $z^2-2z+3=0$ $\iff z^2-2z+1+2=0$

$\iff {\left(z-1\right)}^2=-2$

$\iff |z-1|=\sqrt{2}i$

$\iff \left[\begin{array}{c}z-1=\sqrt{2}i\\ z-1=-\sqrt{2}i\end{array}\right.$

$\iff [\begin{array}{c}z=1+\sqrt{2}i\\ z=1-\sqrt{2}i\end{array}$

$\Rightarrow$ Loại đáp án A.

+ Xét phương trình  $z^2+2z+5=0$ $\iff z^2+2z+1+4=0$

$\iff {\left(z+1\right)}^2=-4=4i^2$ 

$\iff |z+1|=2i$

$\iff \left[\begin{array}{c}z+1=2i\\ z+1=-2i\end{array}\right.$

$\iff [\begin{array}{c}z=-1+2i\\ z=-1-2i\end{array}$

 Loại đáp án B.

+ Xét phương trình $z^2-2z+5=0$ $\iff z^2-2z+4+1=0$

$\iff {\left(z-1\right)}^2=-4=-4i^2$

$\iff |z-1|=2i$

$\iff \left[\begin{array}{c}z-1=2i\\ z-1=-2i\end{array}\right.$

$\iff [\begin{array}{c}z=1+2i\\ z=1-2i\end{array}$

 Chọn đáp án C.

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Giả sử số phức cần tìm là $z=a+bi$ 

Từ điều kiện $z=\overline{z}$ ta có $a+bi=a-bi\iff b=0$ 

Từ điều kiện $\left|z\right|=5\iff a=\pm 5$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Đặt $z=a+bi\left(a;b\in R\right)$ $\Rightarrow \overline{z}=a-bi$, khi đó ta có:

$\left(1+i\right)\left(a+bi\right)+\left(2-i\right)\left(a-bi\right)=13+2i$

$\iff a-b+\left(a+b\right)i+2a$

$-b-(a+2b)i=13+2i$

$\iff 3a-2b-bi=13+2i$

$\iff \left\{\begin{array}{c}3a-2b=13\\ -b=2\end{array}\right.$

$\iff \{\begin{array}{c}a=3\\ b=-2\end{array}\Rightarrow z=3-2i$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Giả sử ta có số phức $z=x+yi$.

Ta có: $z\left(1+i\right)=\left(x+yi\right)\left(1+i\right)$

$=(x-y)+(x+y)i$  

$z\left(1+i\right)$ là số thực khi x + y = 0 hay y = -x

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $z_1+z_2=\frac{-1-5i\sqrt{5}}{3}+\frac{-1+5i\sqrt{5}}{3}$

$=\frac{-2}{3}$

$z_1{z}_2=\frac{-1-5i\sqrt{5}}{3}.\frac{-1+5i\sqrt{5}}{3}$

$=\frac{126}{9}=\frac{42}{3}$

$\Rightarrow z_1,z_2$ là các nghiệm của phương trình  $z^2+\frac{2}{3}z+\frac{42}{3}=0$ $\iff 3z^2+2z+42=0$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Giả sử $z=x+yi,\left(x,y\in R\right)$ 

Theo đề bài ta có: $\left|z+3-4i\right|=5$  

$\iff \sqrt{{\left(x+3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2}=5$

$\iff {\left(x+3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=25$

Vậy tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm $I\left(-3;4\right),R=5$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Vì z là thuần ảo nên $a=0\Rightarrow z=bi$.

Từ điều kiện $\left|z+4\right|=3\left|z\right|$ có:

$\left|bi+4\right|=3\left|bi\right|$

$\iff b^2+4^2=9b^2$

$\iff 8b^2=16$

$\iff b=\pm \sqrt{2}$

Mỗi một số phức z chỉ có 1 điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức.

Vậy có hai số phức z thỏa mãn đề bài tương ứng với hai đểm biểu diễn.

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Giả sử $z=a+bi\left(a,b\in R\right)$, ta có $z^2=a^2-b^2+2abi$ 

Vì $z^2$ là số thuần ảo nên ta có $a^2-b^2=0$ (1)

Từ điều kiện $\left|z\right|=\sqrt{2}$ có $a^2+b^2=2$ (2)

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}{a}^2-b^2=0\\ a^2+b^2=2\end{array}\iff \right.a^2=b^2=1$ 

Có 4 bộ số $\left(a;b\right)$ là $\left(1;1\right),\left(1;-1\right),\left(-1;-1\right),\left(-1;1\right)$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Từ điều kiện $\left|z-2-4i\right|=\left|z-2i\right|$ ta có:

$\left|x+yi-2-4i\right|=\left|x+yi-2i\right|$

$\iff {(x-2)}^2+{(y-4)}^2=x^2+{(y-2)}^2$

$\iff -4x+4-8y+16=-4y+4$

$\iff -4x-4y+16=0$

$\iff x+y=4\iff x=4-y$

Ta có:

$\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(4-y\right)}^2+y^2}$

$=\sqrt{2y^2-8y+16}$

$=\sqrt{2{(y-2)}^2+8}\ge 2\sqrt{2}$

Vậy $\min \left|z\right|=2\sqrt{2}$ khi $y-2=0$ hay $y=2\Rightarrow x=2\Rightarrow z=2+2i$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Ta có:

$\left|4z_1{z}_2+16z_2{z}_3+9z_1{z}_3\right|$

$=|z_3.\overline{z_3}.z_1{z}_2+z_1.\overline{z_1}{z}_2{z}_3+z_2.\overline{z_2}{z}_1{z}_3|$

$=\left|z_1{z}_2{z}_3.\left(\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}\right)\right|$

$=\left|z_1{z}_2{z}_3\right|.|\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}|$

$=\left|z_1\right|.\left|z_2\right|.\left|z_3\right|.\left|\overline{z_1+z_2+z_3}\right|$

$=24.|z_1+z_2+z_3|=48$

$\Rightarrow P=\left|z_1+z_2+z_3\right|=\frac{48}{24}=2$