Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường AB và BC lần lượt là x, y

(x > 0; y > 0,5; đơn vị: giờ).

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}50.x+45.y=165\\ y-x=0,5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1,5\\ y=2\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 1,5 giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường BC là 2 giờ.

Đáp án cần chọn là: B

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vương hình chữ nhật lần lượt là x, y

(150 > x > y > 0; cm)

Diện tích ban đầu của khu vương là x.y (cm²)

Vì hình chữ nhật có chu vi bằng 300 (cm)

nên ta có (x + y). 2 = 300

Nếu tăng chiều rộng thêm 5 cm và giảm chiều dài 5cm thì diện tích tăng 275cm²Nên ta có phương trình

(x − 5).(y + 5) = xy + 275

Suy ra hệ phương trình:  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x+y\right).2=300\\ \left(x-5\right)\left(y+5\right)=xy+275\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+y=150\\ xy+5x-5y-25=xy+275\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+y=150\\ 5x-5y=300\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+y=150\\ x-y=60\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=105\\ y=45\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật

ban đầu là 45 cm

Chiều dài của hình chữ nhật

ban đầu là 105 cm

Đáp án cần chọn là: B

Gọi vận tốc lúc đầu của xe là

x (km/h; x > 10), thời gian theo dự định là y (y > 3) (giờ)

Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ nên ta có phương trình (x + 10) (y – 3) = xy

Suy ra hệ phương trình :

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x-10\right)\left(y+5\right)=xy\\ \left(x+10\right)\left(y-3\right)=xy\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-3x+10y=30\\ 5x-10y=50\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=40\\ y=15\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy vận tốc ban đầu là 40 km/h

Đáp án cần chọn là: A

Gọi thời gian A, B làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (y > x > 6, đơn vị: ngày)

Mỗi ngày các bạn A, B lầm lượt làm được $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{y}$ (công việc)

Vì hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày nên ta có:   

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$ (1)

Do làm một mình xong công việc thì B làm lâu hơn A là 9 ngày nên ta có phương trình:

y – x = 9   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\\ y-x=9\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=9\\ y=18\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy B hoàn thành cả công việc trong 18 ngày.

Suy ra sau khi A làm một mình xong nửa công việc rồi nghỉ, B hoàn thành công việc còn lại trong 9 ngày.

Đáp án cần chọn là: A

Gọi số sách trên hai giá lần lượt là x, y

(0 < x, y < 450, cuốn)

Vì hai giá sách có 450 cuốn nên ta có phương trình: x + y = 450 (cuốn)

Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng  số sách ở giá thứ nhất nên ta có ot  

Suy ra hệ phương trình  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=450\\ y+50=\frac{4}{5}\left(x-50\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+y=450\\ \frac{4}{5}x-y=90\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=300\\ y=150\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy số sách trên giá thứ nhất là 300 cuốn, số sách trên giá thứ hai là 150 cuốn.

Đáp án cần chọn là: A

Gọi năng suất lúa mới và lúa cũ trên 1 ha lần lượt là x; y (x, y > 0) đơn vị: tấn/ha

Vì đồng cấy 50 ha lúa giống mới và 30 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 410 tấn thóc nên ta có 50x + 30y = 410

Vì 5 ha trồng lúa mới thu hoạch được nhiều hơn 6 ha trồng lúa cũ là 0,5 tấn nên ta có phương trình: 5x – 6y = 0,5

Suy ra hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}5x-6y=0,5\\ 50x+30y=410\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}5x-6y=0,5\\ 5x+3y=41\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}9y=40,5\\ 5x+3y=41\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=4,5\\ x=5,5\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy năng suất lúa cũ trên 1 ha là 4,5 tấn.

Đáp án cần chọn là: C

Gọi vận tốc thực của cano là x (km/h, x > 0), vận tốc dòng nước là y (km/h, 0 < y < x)

Vận tốc cano khi xuôi dòng là x + y (km/h), vận tốc cano khi ngược dòng là: x – y (km/h)

Cano chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km nên ta có phương trình

$\frac{108}{x+y}+\frac{63}{x-y}=7$

Cano chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km nên ta có phương trình:

$\frac{81}{x+y}+\frac{84}{x-y}=7$

Ta có hệ phương trình

Gọi chiều cao của tam giác là h, cạnh đáy tam giác là a. (h, a $\in \mathbb{N}*$, a > 3, dm)

Diện tích tam giác ban đầu là $\frac{1}{2}$ ah (dm²)

Vì chiều cao bằng $\frac{3}{4}$ cạnh đáy nên ta có phương trình: $h=\frac{3}{4}a$ 

Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm².

Nên ta có phương trình

$\frac{1}{2}\left(h+3\right)\left(a-3\right)-\frac{1}{2}ah=12$ 

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}h=\frac{3}{4}a\\ \frac{1}{2}\left(h+3\right)\left(a-3\right)-\frac{1}{2ah}=12\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}h=\frac{3}{4}a\\ \frac{-3h}{2}+\frac{3a}{2}=\frac{33}{2}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=44\\ h=33\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy chiều cao của tam giác bằng 44 dm, cạnh đáy tam giác bằng 33 dm

Suy ra diện tích tam giác ban đầu là  $\frac{1}{2}\mathrm{.44.33}=726$(dm²)

Đáp án cần chọn là: D

Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường AB và BC lần lượt là x, y

(x > 0; y > 2; đơn vị: giờ).

Quãng đường AB là 52x (km),

quãng đường BC là 42 (km)

mà tổng quãng đường 272 km

nên ta có phương trình 52x + 42y = 272

Vì thời gian đi quãng đường AB ít hơn thời gian đi quãng đường BC là 2 giờ

nên ta có phương trình y – x = 2

Từ đó ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}52.x+42.y=272\\ y-x=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=x+2\\ 52x+42\left(x+2\right)=272\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=x+2\\ 94x=188\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 2 giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường BC là 4 giờ.

Đáp án cần chọn là: B

Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là x, y (km.h, x > 5, y > 0)

Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau là 3x (km)

Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là 3y (km)

Ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3x+3y=225\\ x-y=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3x+3y=225\\ 3x-3y=15\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}6x=240\\ x-y=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=40\\ y=35\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy vận tốc của người thứ nhất là 40 km/h

Đáp án cần chọn là: A

Gọi số học sinh của trường thứ nhất dự thi là x (học sinh) (x $\in \mathbb{N}*$ , x < 300)

Số học sinh của trường thứ hai dự thi là y (học sinh) (y$\in \mathbb{N}*$  , y < 300)

Hai trường có tất cả 300 học sinh tham gia cuộc thi nên ta có phương trình:

x + y = 300   (1)

Trường A có 75% học sinh đạt, trường 2 có 60% đạt nên cả 2 trường có 207 học sinh đạt, ta có 

$\frac{75}{100}x+\frac{60}{100}y=207$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=300\\ \frac{75}{100}x+\frac{60}{100}y=207\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{60}{100}x+\frac{60}{100}y=180\\ \frac{75}{100}x+\frac{60}{100}y=207\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{15}{100}x=27\\ x+y=300\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=180\\ y=120\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy số học sinh của trường thứ nhất dự thi là 180 học sinh; Số học sinh của trường thứ hai dự thi là 120 học sinh.

Đáp án cần chọn là: C

Gọi thời gian A, B làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (y > x > 0; y > 12, đơn vị: ngày)

Mỗi ngày các bạn A, B lầm lượt làm được $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{y}$ (công việc)

Vì hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 8 ngày nên ta có:   

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}$ (1)

Do làm một mình xong công việc thì B làm lâu hơn A là 12 ngày nên ta có phương trình:

y – x = 12   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}\\ y-x=12\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=x+12\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+12}=\frac{1}{8}(*)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Giải (*):

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}+\frac{1}{x+12}=\frac{1}{8} \\ \iff \frac{8\left(x+12\right)+8x}{8x\left(x+12\right)}=\frac{x\left(x+12\right)}{8x\left(x+12\right)} \\ \Rightarrow 16x+96=x^2+12x \end{gathered}$$

 $\iff$x² – 4x – 96 = 0

$\iff$ x² + 8x – 12x – 96 = 0

$\iff$ x(x+8) – 12(x + 8) = 0

$\iff$ (x – 12) (x + 8) = 0  

$\iff \left[\begin{array}{l}x=12\left(N\right)\\ x=-8\left(L\right)\end{array}\right.$ 

Với x = 12 $\Rightarrow$ y = x + 12 = 24

Vậy B hoàn thành cả công việc trong 24 ngày

Suy ra sau khi A làm một mình xong $\frac{1}{3}$ công việc rồi nghỉ, B hoàn thành  công việc cong lại trong $\frac{2}{3}.24=16$ ngày.

Đáp án cần chọn là: A

Gọi số sản phẩm tổ 1 và tổ 2 làm được trong tháng đầu lần lượt là

x, y (x, y$\in \mathbb{N}*$ , x, y < 800 sản phẩm)

Số sản phẩm tổ 1 và tổ 2 làm được trong tháng hai là 112%.x và 90%.y sản phẩm

Ta có hệ phương trình:

 $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=800\\ 112\%x+90\%y=786\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=800-y\\ 112\%\left(800-x\right)+90\%y=786\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=500\\ x=300\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy số sản phẩm tổ 1 làm được trong tháng đầu là 300 sản phẩm.

Đáp án cần chọn là: B

Gọi số học sinh dự thi của hai trường A, B lần lượt là x, y (350 > x, y > 0) (học sinh)

Vì hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi

nên ta có phương trình

x + y = 350 (học sinh)

Vì trường A có 97% và trường B có 96% số học sinh trúng tuyển và cả hai trường đó có 338 học sinh trúng tuyển nên ta có phương trình

97%.x +96%.y = 338

Suy ra hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=350\\ 97\%.x+96\%.y=338\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=350-y\\ 97.\left(350-y\right)+96.y=33800\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=150\\ x=200\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy trường B có 150 học sinh dự thi

Đáp án cần chọn là: B

Gọi vận tốc thực của cano là x (km/h, x > 0), vận tốc dòng nước là y (km/h, 0 < y < x)

Vận tốc cano khi xuôi dòng là x + y (km/h), vận tốc cano khi ngược dòng là: x – y (km/h)

Cano đi xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng trong 4 giờ, được 380 km nên ta có phương trình:

3 (x + y) + 4 (x – y) = 380

Cano xuôi dòng trong 1 giờ và ngược dòng trong 30 phút được 85 km nên ta có phương trình:

x + y + $\frac{1}{2}$ (x – y) = 85

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3\left(x+y\right)+4\left(x-y\right)=380\\ x+y+\frac{1}{2}\left(x-y\right)=85\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}7x-y=380\\ 3x+y=170\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}10x=550\\ 3x+y=170\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=55\\ y=5\end{array}\left(tm\right)\right. \end{gathered}$$

Vậy vận tốc dòng ngước là 5 km/h

Đáp án cần chọn là: A

Gọi năng suất lúa mới và lúa cũ trên 1 ha lần lượt là x; y (x, y > 0) đơn vị: tấn/ha

Vì cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ga lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc nên ta có

60x + 40y = 460

Vì 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn nên ta có phương trình:

4y – 3x = 1

Suy ra hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}4y-3x=1\\ 60x+40y=460\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-30x+40y=10\\ 60x+40y=640\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=4\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy năng suất lúa mới trên 1 ha là 5 tấn

Đáp án cần chọn là: A

Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (h), thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là y (h) (x; y > 1,5)

Mỗi giờ vòi I chảy được $\frac{1}{x}$ (bể),

vòi II chảy được $\frac{1}{y}$bể

nên cả hai vòi chảy được  bể $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Hai vòi cùng chảy thì sau 1,5h sẽ đầy bể nên ta có phương trình:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}$   (1)

Nếu mở vòi 1 chảy trong 0,25h rồi khóa lại và mở vòi 2 chảy trong  h thì được  bể nên ta có phương trình

$\frac{0,25}{x}+\frac{1}{3y}=\frac{1}{5}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\\ \frac{1}{4x}+\frac{1}{3y}=\frac{1}{5}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=\frac{2}{9}\\ \frac{1}{4x}+\frac{1}{3y}=\frac{1}{5}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{12x}=\frac{1}{45}\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}12x=45\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{15}{4}=3,75\\ y=\frac{5}{2}=2,5\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 2,5h

Đáp án cần chọn là: A

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là: x, y

(21 > x > y > 0; m)

Vì mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 42m nên ta có (x + y). 2 = 42

Đường chéo hình chữ nhật dài 15m nên

ta có phương trình: x² + y² = 15²

Suy ra hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x+y\right).2=42\\ x^2+y^2=225\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+y=21\\ x^2+y^2=225\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=21-x\\ x^2+{\left(21-x\right)}^2=225\left(1\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Giải phương trình (1) ta được:

2x² – 42x + 216 = 0  

$\iff$x² – 21x + 108 = 0  

$\iff$(x – 12) (x – 9) = 0

   $\iff \left[\begin{array}{l}x=12\Rightarrow y=9\left(N\right)\\ x=9\Rightarrow y=12\left(L\right)\end{array}\right.$

Vậy chiều rộng mảnh đất ban đầu là 9m

Đáp án cần chọn là: C