Đáp án đúng là: A

Ta có \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\) với \(a \ne 0\) nên A đúng, B sai.

Với \(a \ne 0\) ta có \({a^0} = 1\), do đó C và D sai.

Đáp án đúng là: A

Biểu thức \(M = {2^0}\) và \(Q = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}\) có nghĩa.

Đáp án đúng là: A

Ta có \( - 4\sqrt 2 = - {2^2} \cdot {2^{\frac{1}{2}}} = - {2^{2 + \frac{1}{2}}} = - {2^{\frac{5}{2}}}\).

Do đó, \(\sqrt[5]{{ - 4\sqrt 2 }} = \sqrt[5]{{ - {2^{\frac{5}{2}}}}} = {\left( { - {2^{\frac{5}{2}}}} \right)^{\frac{1}{5}}} = - {2^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}}} = - {2^{\frac{1}{2}}} = - \sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(P = {a^{\frac{3}{4}}}:\sqrt a = {a^{\frac{3}{4}}}:{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{1}{4}}}\).

Đáp án đúng là: A

Với \(a > 0,\,a \ne 1\), ta có \({\log _a}a = 1\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \({\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}{\log _a}a = \frac{1}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(5{\log _2}a + 4{\log _2}b = {\log _2}{a^5} + {\log _2}{b^4} = {\log _2}\left( {{a^5}{b^4}} \right)\).

Do đó, \(x = {a^5}{b^4}\).

Đáp án đúng là: B

Vì \(a\), \(b\) là các số thực lớn hơn \(1\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}x = 2\\{\log _b}x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {a^2}\\x = {b^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow {a^2} = {b^3} \Leftrightarrow a = \sqrt {{b^3}} \Leftrightarrow a = {b^{\frac{3}{2}}}\).

Ta có \(P = {\log _{\frac{a}{{{b^2}}}}}x = {\log _{\frac{{{b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^2}}}}}x = {\log _{{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}}}x = - 2{\log _b}x = - 6\).

Đáp án đúng là: D

Hàm số \(y = {7^x}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Đáp án đúng là: A

Điều kiện để hàm số có nghĩa là \[x > 0\]. Vậy tập xác định là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: B

Vì \(\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3} > 1\) nên hàm số \[y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3}} \right)^x}\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

Đáp án đúng là: D

Hàm số \(y = {\log _a}x\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có tập xác định là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) nên ta loại ngay đáp án A và đáp án B.

Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số này đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có \({2^x} > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó, phương trình \({2^x} = a\) có nghiệm khi \(a > 0\).

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: \(x > 0\).

Ta có \({\log _2}x = 5 \Leftrightarrow x = {2^5} \Leftrightarrow x = 32\) (thỏa mãn).

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: \(x > 1\).

Ta có \({\log _2}\left( {x - 1} \right) > 4\)\( \Leftrightarrow x - 1 > {2^4}\) (do 2 > 1)

                                   \( \Leftrightarrow x > 17\).

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) > 4\) là \(S = \left( {17; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: A

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(f'\left( {{x_0}} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Nếu hàm số \(T = f\left( t \right)\) biểu thị nhiệt độ \(T\) theo thời gian \(t\) thì \[f'\left( {{t_0}} \right)\] biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm \({t_0}\).

Đáp án đúng là: C

Ta tìm được \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 3\) nên \(f'\left( { - 1} \right) = 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 3 = 6\).

Do đó, tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left( { - 1;\, - 4} \right)\) có phương trình là

\(y + 4 = 6\left( {x + 1} \right)\) hay \(y = 6x + 2\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \({\left( {\tan \,x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\,\,\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Cho hai hàm số \(u\left( x \right)\) và \(v\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc tập xác định. Ta có các quy tắc tính đạo hàm:

+ Đạo hàm của tổng: \({\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\);

+ Đạo hàm của hiệu: \({\left( {u - v} \right)^\prime } = u' - v'\);

+ Đạo hàm của tích: \({\left( {uv} \right)^\prime } = u'v + uv'\);

+ Đạo hàm của thương: \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\,\,\,\,\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(y' = {\left( {{x^5}} \right)^\prime } = 5{x^4}\). Khi đó \(y'\left( 3 \right) = 5 \cdot {3^4} = 405\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(y' = {\left( {{{\log }_4}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln 4}}\,\,\left( {x > 0} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Hai đường thẳng \[a\] và \(b\) vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng \(90^\circ .\)

Đáp án đúng là: B

Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) có số đo từ 0° đến 90°, do đó đáp án A và D sai.

Góc giữa hai đường thẳng song song bằng 0° nên đáp án C sai.

Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) bằng 0° khi đường thẳng \(a\) song song hoặc trùng với đường thẳng \(b\) là mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: B

+) A sai vì: Nếu \(a\) và \(b\) cùng vuông góc với \(c\) thì \(a\) và \(b\) hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau (cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(c\)).

+) C sai vì: Giả sử hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau, ta dựng đường thẳng \(c\) là đường vuông góc chung của \(a\) và \(b\). Khi đó góc giữa \(a\) và \(c\) bằng với góc giữa \(b\) và \(c\) và cùng bằng 90°, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng \(a\) và \(b\) không song song.

+) D sai vì: Giả sử \(a\) vuông góc với \(c\), \(b\)  song song với \(c\), khi đó góc giữa \(a\) và \(c\) bằng 90°, còn góc giữa \(b\) và \(c\) bằng 0°.

Do đó B đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tứ giác \(ABCD\) có \(AB = BC = CD = DA = a\) nên nó là hình thoi.

Suy ra \(CD{\rm{//}}AB\). Do đó \(\left( {SB,\,\,CD} \right) = \left( {SB,\,\,AB} \right)\).

Tam giác \(SAB\) có \(SA = AB = SB = a\) nên \(SAB\) là tam giác đều, do đó \(\widehat {SBA} = 60^\circ \).

Vậy \(\left( {SB,\,\,CD} \right) = \left( {SB,\,\,AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(b\) là đường thẳng không nằm trong \(\left( P \right)\) và không vuông góc với \(\left( P \right)\). Gọi \(b'\) là hình chiếu vuông góc của \(b\) trên \(\left( P \right)\). Khi đó, \(a\) vuông góc với \(b\) khi và chỉ khi \(a\) vuông góc với \(b'\).

Đáp án đúng là: C

Theo định nghĩa: Trong không gian, cho đường thẳng \(d\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), đường thẳng \(d\) được gọi là vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu \(d\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đáp án đúng là: A

Vì \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O\] nên \[O\] là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

Tam giác \(SAC\) có \[SA = SC\] nên tam giác \(SAC\) cân tại \(S\), lại có \(SO\) là trung tuyến, do đó \(SO \bot AC\). (1)

Tam giác \(SBD\) có \[SB = SD\] nên tam giác \(SBD\) cân tại \(S\), lại có \(SO\) là trung tuyến, do đó \(SO \bot BD\). (2)

Ta có \(AC,\,\,BD \subset \left( {ABCD} \right)\). (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), vậy hình chiếu của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là điểm \[O\].

Đáp án đúng là: B

Ta có \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] suy ra \[SA \bot BD\] (đáp án A đúng), \[SA \bot AD\] .

Và nếu \[AD \bot SC\] thì \(AD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow AD \bot AC\) vô lí vì \[AC \bot BD\] (đáp án B sai).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC,BD \bot SO\) (đáp án C, D đúng).

a) \[P = {\log _{\sqrt a }}{b^3} \cdot {\log _b}{a^4} = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{b^3} \cdot {\log _b}{a^4} = \frac{3}{{\frac{1}{2}}} \cdot 4 \cdot {\log _a}b \cdot \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = 24.\]

b) \[Q = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {\log _{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}{b^{ - 2}}\]

        \[ = \frac{1}{2}\left[ {{{\log }_a}{a^{10}} + {{\log }_a}{b^2}} \right] + 2\left[ {{{\log }_a}a - {{\log }_a}\sqrt b } \right] + 3 \cdot \left( { - 2} \right){\log _b}b\]      \[ = \frac{1}{2}\left[ {10 + 2{{\log }_a}b} \right] + 2\left[ {1 - \frac{1}{2}{{\log }_a}b} \right] - 6 = 1.\]

a) \(y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} + x} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

b) \[y = x \cdot \sqrt {{x^2} - 2x} \Rightarrow y' = \sqrt {{x^2} - 2x} + x \cdot \frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \frac{{{x^2} - 2x + {x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \frac{{2{x^2} - 3x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}\].

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\)

Ta có \(S{A^2} = SH \cdot SB \Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}\left( 1 \right).\)

Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AK.\)

Ta có \(S{A^2} = SK \cdot SD \Rightarrow \frac{{SK}}{{SD}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}}\left( 2 \right).\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}S{B^2} = S{A^2} + A{B^2}\\S{D^2} = S{A^2} + A{D^2}\\AB = AD\end{array} \right. \Rightarrow SB = SD\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\)suy ra \(\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}} \Rightarrow HK{\rm{//}}BD.\)

Lại có \(BD \bot AC\) (tính chất hình thoi).

Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BD \bot SA.\)

Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) mà \(HK{\rm{//}}BD\) nên \(HK \bot \left( {SAC} \right).\)

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: \[m{x^2} + 4x + m > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\16 - 4{m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\].

Ta có \[\log 5 + \log \left( {{x^2} + 1} \right) \ge \log \left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow \log 5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge \log \left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge \left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow \left( {5 - m} \right){x^2} - 4x + 5 - m \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - m > 0\\16 - 4{\left( {5 - m} \right)^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\4 \le {\left( {5 - m} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\\left[ \begin{array}{l}5 - m \le  - 2\\5 - m \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 7\\m \le 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3\].

Kết hợp với ĐKXĐ, ta được \(2 < m \le 3\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \[m = 3\].