Đáp án đúng là: A

Theo tính chất của lũy thừa ta có \({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{ab}}\) với mọi \(x\), \(a\), \(b\) dương.

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\frac{{{5^a}}}{{{5^b}}} = {5^{a - b}}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(P = \frac{{a\sqrt a \sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} \right)}^3}}}\)\( = \frac{{{a^{1 + \frac{1}{2} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{3}{4}}}}}\) \( = {a^{\frac{{17}}{{12}}}}\) \( = {\left( {\sqrt[{12}]{a}} \right)^{17}}\) \( = {x^{17}}\).

Đáp án đúng là: D

\[P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 - \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1 + 2 - \sqrt 3 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 2 - 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}\].

Đáp án đúng là: C

Vì \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3}\) nên nếu \({a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}}\) thì \(a > 1\).

Vì \(\frac{2}{3} < \frac{3}{4}\) nên nếu \({b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}}\) thì \(0 < b < 1\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\log \left( {10a} \right) = \log 10 + \log a = 1 + \log a\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \({\log _{{a^2}}}\left( {a\sqrt a } \right) = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot {\log _a}a = \frac{3}{4}\).

Đáp án đúng là: D

\({\log _3}\left( {{3^a} \cdot {9^b}} \right) = {\log _9}3 \Rightarrow {\log _3}\left( {{3^a}} \right) + {\log _3}\left( {{9^b}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow a + 2b = \frac{1}{2} \Rightarrow 2a + 4b = 1\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5 + {\log _a}2 = \frac{1}{2}{\log _a}{3^2} - {\log _a}5 + {\log _a}2 = 2 \cdot \frac{1}{2}{\log _a}3 - {\log _a}5 + {\log _a}2\)

        \( = {\log _a}3 - {\log _a}5 + {\log _a}2 = {\log _a}\frac{3}{5} + {\log _a}2 = {\log _a}\left( {\frac{3}{5} \cdot 2} \right) = {\log _a}\frac{6}{5}\).

Vậy \(x = \frac{6}{5}\).

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = {4^x}\) là hàm số mũ.

Đáp án đúng là: B

Hàm số \(y = {\log _a}x\) xác định trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) nên ta loại hình (I) và hình (II).

Vì cơ số \(a > 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), khi đó đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái qua phải, chính là hình (III).

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: \[2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\].

Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\].

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Hàm số có TXĐ: \(D = \mathbb{R},\) tập giá trị \(T = \left( {0; + \infty } \right)\) và hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (loại A và C).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 1;3} \right)\) (loại B). Chọn D.

Đáp án đúng là: C

Vì \({3^x} > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên để phương trình \({3^x} = m\) có nghiệm thực thì \(m > 0\).

Đáp án đúng là: C

\(\log x \ge 1 \Leftrightarrow x \ge 10\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {10; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \({\log _2}\left( {x + 9} \right) = 5\) <=> \[\left\{ \begin{array}{l}x + 9 > 0\\x + 9 = {2^5}\end{array} \right.\]<=> \[x = 23\].

Đáp án đúng là: B

Ta có \[{3^x} - 81 \le 0 \Leftrightarrow {3^x} \le 81 \Leftrightarrow {3^x} \le {3^4} \Leftrightarrow x \le 4\,\,\left( 1 \right)\].

Vì bất phương trình có nghiệm nguyên dương nên \[x \in {\mathbb{N}^*}\], kết hợp với \[\left( 1 \right)\] nên \[x \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \({2^{2x - 1}} = {2^x} \Leftrightarrow 2x - 1 = x \Leftrightarrow x = 1\).

Đáp án đúng là: D

Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể hoặc cắt nhau (tức là cùng nằm trên một mặt phẳng), hoặc chéo nhau (tức là không cùng nằm trên một mặt phẳng), do đó các đáp án A, B, C chưa đúng.

Hiển nhiên \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau thì góc giữa \(a\) và \(b\) bằng \(90^\circ \), vậy đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: A

Theo lý thuyết, ta thấy đáp án A đúng.

Đáp án B sai do chúng có thể vuông góc với nhau.

Đáp án C sai do chúng có thể chéo nhau.

Đáp án D sai do chúng có thể song song.

Đáp án đúng là: D

Gọi \(O\) là tâm của hình thoi \(ABCD\).

Khi đó \[OJ{\rm{//}}CD\].

Nên góc giữa \[IJ\] và \(CD\) bằng góc giữa \[IJ\] và \[OJ\].

Xét tam giác \[IOJ\] có

 \(IJ = \frac{1}{2}SB = \frac{a}{2},\,OJ = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2},\,\,IO = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\) (sử dụng tính chất đường trung bình).

Nên tam giác \[IOJ\]đều. Suy ra \[\widehat {IJ{\rm{O}}} = 60^\circ \]

Vậy \[\left( {IJ,\,CD} \right) = \left( {IJ,\,\,OJ} \right) = \widehat {IJ{\rm{O}}} = 60^\circ \].

Đáp án đúng là: B

Hình hộp có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên mỗi mặt của hình hộp là một hình thoi.

Xét từng đáp án, ta thấy:

+ Đáp án A đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}A'C' \bot B'D'\\B'D'\,{\rm{//}}\,BD\end{array} \right. \Leftrightarrow A'C' \bot BD\).

+ Đáp án B sai vì \[BB'\,{\rm{//}}\,DD'\].

+ Đáp án C đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}A'B \bot AB'\\AB'{\rm{//}}DC'\end{array} \right. \Rightarrow A'B \bot DC'\).

+ Đáp án D đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}BC' \bot B'C\\B'C\,{\rm{//}}\,A'D\end{array} \right. \Rightarrow BC'\,{\rm{//}}\,A'D\).

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng \(\Delta \) được gọi là vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu \(\Delta \) vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) (ĐN đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).

Vậy đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: A

Giả sử xét hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ có \(\left\{ \begin{array}{l}A'B'{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\\B'C' \bot A'B'\end{array} \right.\) nhưng \(B'C'{\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)

Vậy đáp án A sai.

Đáp án đúng là: B

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\\DB = DC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot DM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADM} \right) \Rightarrow BC \bot AD.\)

Chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(A\) là hình chiếu của \[S\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].

Do đó, hình chiếu của \[SB\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là \[AB\].

Đáp án đúng là: A

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên

+ \(ABCD\) là hình vuông, suy ra \(AC \bot BD\);

+ \(BB' \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \(BB' \bot AC\).

Lại có \(BB',\,BD \subset \left( {BB'D'D} \right)\).

Từ đó suy ra \(AC \bot \left( {BB'D'D} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\], mà \(SA \subset \left( {SAB} \right)\), do đó \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\].

Đáp án đúng là: D

Cho đường thẳng \[a\] không vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]. Có duy nhất một mặt phẳng chứa \[a\] và vuông góc với \[\left( \alpha \right)\].

Đáp án đúng là: A

Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật nên đáp án A không thỏa mãn.

Đáp án đúng là: D

* Gọi \[I = A{B_1} \cap {A_1}B\].

Tam giác \[{A_1}BD\] đều có \[DI\] là đường trung tuyến nên \[DI \bot {A_1}B\].

\[DA \bot \left( {A{A_1}{B_1}B} \right) \Rightarrow DA \bot {A_1}B\].

\[\left. \begin{array}{l}{A_1}B \bot DI\\{A_1}B \bot AD\end{array} \right\} \Rightarrow {A_1}B \bot \left( {A{B_1}D} \right) \Rightarrow \left( {{A_1}BD} \right) \bot \left( {A{B_1}D} \right)\] nên A đúng.

* Ta có \[\left. \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot A{A_1}\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {AC{C_1}{A_1}} \right) \Rightarrow \left( {{A_1}BD} \right) \bot \left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\] nên B đúng.

* Gọi \[J = A{D_1} \cap {A_1}D\].

Tam giác \[{A_1}BD\] đều có \[BJ\] là đường trung tuyến nên \[BJ \bot {A_1}D\].

\[BA \bot \left( {A{A_1}{D_1}D} \right) \Rightarrow BA \bot {A_1}D\].

\[\left. \begin{array}{l}{A_1}D \bot BJ\\{A_1}D \bot BA\end{array} \right\} \Rightarrow {A_1}D \bot \left( {AB{D_1}} \right) \Rightarrow \left( {{A_1}BD} \right) \bot \left( {AB{D_1}} \right)\] nên C đúng. Vậy D sai.

Đáp án đúng là: D

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(ABCD\) là hình vuông, do đó hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau.

Lại có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \(AA' \bot BD\).

Khi đó, đường thẳng \(BD\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(AC\) và \(AA'\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) nên \(BD \bot \left( {ACC'A'} \right)\). Suy ra \(\left( {BDD'B'} \right) \bot \left( {ACC'A'} \right)\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) và \(\left( {BDD'B'} \right)\) bằng \(90^\circ \).

a) Với \(a > 0,\,\,a \ne 1\), ta có:

\(M = \frac{{{a^{\frac{1}{5}}}\left( {{a^{\frac{3}{{10}}}} - {a^{ - \frac{1}{5}}}} \right)}}{{{a^{\frac{2}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{ - \frac{2}{3}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{1}{5}}} \cdot {a^{ - \frac{1}{5}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - 1} \right)}}{{{a^{\frac{2}{3}}} \cdot {a^{ - \frac{2}{3}}}\left( {a - 1} \right)}}\)\( = \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - 1}}{{a - 1}}\)\( = \frac{{\sqrt a  - 1}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}\)\( = \frac{1}{{\sqrt a  + 1}}\).

b) Năm 2025 ứng với \(t = 5\) nên có dân số thế giới là

\[P\left( 5 \right) = 7,795 \cdot {\left( {1 + 0,0105} \right)^5} \approx 8,213\] (tỉ người).

Năm 2030 ứng với \(t = 10\) nên có dân số thế giới là

\[P\left( {10} \right) = 7,795 \cdot {\left( {1 + 0,0105} \right)^{10}} \approx 8,653\] (tỉ người).

a)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SI \bot AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\SI \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do \(CF \subset \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow SI \bot CF\) (1).

b) Gọi \(H = FC \cap DI\).

Xét hai tam giác vuông \(ADI\) và \(DCF\) có

\(\left\{ \begin{array}{l}AI = DF\\AD = DC\\\widehat {DAI} = \widehat {FDC} = 90^\circ \end{array} \right. \Rightarrow \Delta ADI = \Delta DCF\) (c – g – c).

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {{I_1}} = \widehat {{F_1}}\\\widehat {{D_2}} = \widehat {{C_2}}\end{array} \right.,\,\,{\rm{m\`a }}\,\,\widehat {{I_1}} + \widehat {{D_2}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {{F_1}} + \widehat {{D_2}} = 90^\circ \]

\[ \Rightarrow \widehat {FHD} = 90^\circ \Rightarrow CF \bot DI\,\,(2)\].

Từ (1) và (2) suy ra \(CF \bot \left( {SID} \right)\).

Số lượng vi khuẩn ban đầu \({N_0} = 500\) con.

Sau thời gian \(t = 2\) giờ có 1 500 con nên ta có \(1\,\,500 = 500 \cdot {e^{2r}}\)

\( \Leftrightarrow {e^{2r}} = 3 \Leftrightarrow 2r = \ln 3 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{2}\).

Do đó, tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loài vi khuẩn này là \(r = \frac{{\ln 3}}{2}\).

Gọi \(t\) là thời gian để số lượng vi khuẩn ban đầu tăng gấp đôi, tức là \(N\left( t \right) = 2{N_0}\).

Lại có \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{rt}}\) nên ta có \(2{N_0} = {N_0} \cdot {e^{rt}} \Leftrightarrow {e^{rt}} = 2 \Rightarrow rt = \ln 2 \Rightarrow t \approx 1,26\) (giờ).