Đáp án đúng là: A

Với các số dương \[a \ne 1\] và các số thực \[\alpha \], \[\beta \], ta có:

+) \[{a^\alpha } \cdot {a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\];         +) \[\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\];                 +) \[{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\].

Đáp án đúng là: A

Các đẳng thức ở đáp án B, C, D đúng và đáp án A sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có \({a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \[{2^{a - b}} = \frac{{{2^a}}}{{{2^b}}} = \frac{6}{{48}} = \frac{1}{8} = {2^{ - 3}} \Rightarrow a - b = - 3\].

Đáp án đúng là: C

Sau 1 năm, chị Hà nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là

\(T = 30\,\,000\,\,000{\left( {1 + 0,5\% } \right)^{12}} \approx 31\,\,850\,\,000\) (đồng).

Đáp án đúng là: D

Với \(0 < a \ne 1,\,M > 0\) và \(\alpha \) là số thực tùy ý, ta có:

+) \({\log _a}1 = 0\);       +) \({\log _a}a = 1\);

+) \({\log _a}{a^\alpha } = \alpha \);             +) \({a^{{{\log }_a}M}} = M\).

Đáp án đúng là: B

Lôgarit của tích bằng tổng các lôgarit: \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \({\log _a}\left( {{b^2}{c^3}} \right) = {\log _a}{b^2} + {\log _a}{c^3} = 2{\log _a}b + 3{\log _a}c = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 13\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \[\log _3^2\left( {{a^2}} \right) = {\left( {{{\log }_3}{a^2}} \right)^2} = {\left( {2{{\log }_3}a} \right)^2} = 4\log _3^2a\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \(6{\log _4}a - 3{\log _2}\sqrt[3]{b} - {\log _{\frac{1}{2}}}c\)\( = 6{\log _{{2^2}}}a - 3{\log _2}{b^{\frac{1}{3}}} - {\log _{{2^{ - 1}}}}c\)

\( = 6.\frac{1}{2}{\log _2}a - 3.\frac{1}{3}{\log _2}b + {\log _2}c\)\( = 3{\log _2}a - {\log _2}b + {\log _2}c\)\( = \left( {{{\log }_2}{a^3} - {{\log }_2}b} \right) + {\log _2}c\)\( = {\log _2}\frac{{{a^3}c}}{b}\).

Suy ra \(x = \frac{{{a^3}c}}{b}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(y = {5^{\frac{x}{3}}} = {\left( {{5^{\frac{1}{3}}}} \right)^x}\) là hàm số mũ với cơ số \({5^{\frac{1}{3}}}\);

\(y = {4^{ - x}} = {\left( {{4^{ - 1}}} \right)^x} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\) là hàm số mũ với cơ số \(\frac{1}{4}\);

Hàm số \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\) là hàm số mũ với cơ số \(\sqrt 3 \);

Hàm số \(y = {x^{ - 4}}\) không phải hàm số mũ.

Đáp án đúng là: B

Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) nên ta loại hình (I) và (II).

Vì cơ số \(a > 1\) nên hàm số này đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), tức là đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải, do vậy hình (III) là dạng đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x;{\rm{ }}a > 1\).

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = {\left( {2a - 1} \right)^x}\) là hàm số mũ khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2a - 1 > 0\\2a - 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > \frac{1}{2}\\a \ne 1\end{array} \right.\).

Vậy \(a \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: B

ĐKXĐ: \({x^2} + 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > - 1\end{array} \right.\).

Vậy tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\) là \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: B

Quan sát hình vẽ ta thấy:

+) Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) đi lên từ trái qua phải nên hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(a > 1\).

+) Đồ thị hàm số \(y = {\log _b}x\) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số này nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(0 < b < 1\).

Đáp án đúng là: A

Phương trình \({4^x} = 5\) là phương trình mũ.

Đáp án đúng là: B

ĐKXĐ: \(2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\).

Đáp án đúng là: B

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Ta có \[{\log _2}x < 1 \Leftrightarrow x < {2^1} \Leftrightarrow x < 2\].

Kết hợp điều kiện ta được \(0 < x < 2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \[{\log _2}x < 1\] là \[S = \left( {0\,;\,2} \right)\].

Đáp án đúng là: B

Ta có \({\pi ^{x - 4}} = \frac{1}{\pi } \Leftrightarrow {\pi ^{x - 4}} = {\pi ^{ - 1}} \Leftrightarrow x - 4 = - 1 \Leftrightarrow x = 3\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \[{2^{x\, - \,3}}\, > \,16 \Leftrightarrow {2^{x - 3}} > {2^4} \Leftrightarrow x - 3 > 4 \Leftrightarrow x > 7\].

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \[{2^{x\, - \,3}}\, > \,16\] là \[\left( {7;\, + \infty } \right)\].

Đáp án đúng là: C

Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.

Đáp án đúng là: A

Hai đường thẳng \[a\] và \(b\) vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng \(90^\circ .\)

Đáp án đúng là: A

Vì \[ABCD.EFGH\] là hình hộp chữ nhật nên \(AE{\rm{//}}CG\).

Do đó, \(\left( {AE,\,CD} \right) = \left( {CG,\,CD} \right) = \widehat {DCG} = 90^\circ \).

Đáp án đúng là: C

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\)là hình lập phương nên \(AB\,{\rm{//}}A'B'\) và \(A'B'C'D'\) là hình vuông.

Do \(AB\,{\rm{//}}A'B'\) nên \(\left( {AB,\,A'C'} \right) = \left( {A'B',\,A'C'} \right) = \widehat {B'A'C'} = 45^\circ \).

Đáp án đúng là: D

Qua điểm \(O\) cho trước, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) cho trước.

Đáp án đúng là: D

Phép chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo phương \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đáp án đúng là: B

Đáp án B sai do thiếu yếu tố hai đường thẳng phải cắt nhau.

Đáp án đúng là: D

Ta có \(BC \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình chữ nhật) và \(BC \bot SA\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).

Do đó, \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), suy ra \(BC \bot AE\). Mà \(AE \bot SB\) (gt).

Từ đó suy ra \(AE \bot \left( {SBC} \right)\), suy ra \(AE \bot SC\) (1).

Tương tự, ta chứng minh được \(CD \bot \left( {SAD} \right)\), suy ra \(CD \bot AF\). Mà \[AF \bot SD\] (gt).

Từ đó suy ra \(AF \bot \left( {SCD} \right)\), suy ra \(AF \bot SC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot \left( {AEF} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), suy ra \(SA \bot BC\).

Lại có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB \bot BC\).

Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \(BC \bot SB\).

Đáp án đúng là: B

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(\left( {ABCD} \right){\rm{//}}\left( {A'B'C'D'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right) \bot \left( {CDD'C'} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Vì lăng trụ đều nên các cạnh bằng nhau. Do đó đáy là đa giác đều.

Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các mặt bên vuông góc với đáy.

Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với đáy.

Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy. Do đó các mặt bên là những hình vuông.

Đáp án đúng là: A

Cắt hình chóp bởi mặt phẳng song song với đáy và cắt tất cả các cạnh bên của hình chóp thì ta được hình chóp cụt tứ giác đều.

Đáp án đúng là: A

Gọi \(O\) là tâm của hình thoi \(ABCD\).

Vì \(SA = SC\) nên tam giác \(SAC\) cân tại \(S\), lại có \(SO\) là trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó \(SO \bot AC\).

Lại có \(AC \bot BD\) (hai đường chéo của hình thoi \(ABCD\)).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot SO\\AC \bot BD\\SO,\,BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {ABCD} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AI\) là đường trung tuyến trong tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) do đó \(AI\) đồng thời là đường cao nên suy ra \(AI \bot BC\).

Tương tự ta chứng minh được \(DI \bot BC\). Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {ADI} \right)\).

Vậy \(\left( {BCD} \right) \bot \left( {ADI} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

Ta cũng có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SB \subset \left( {SBC} \right),\,\,SB \bot BC\\AB \subset \left( {ABC} \right),\,\,AB \bot BC\end{array} \right.\). Suy ra \(\left( {\left( {SBC} \right),\,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,\,AB} \right) = \widehat {SBA}\).

Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB\), do đó tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\).

Lại có \(SA = AB\) (gt), từ đó suy ra tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(A\). Do đó \(\widehat {SBA} = 45^\circ \).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \).

a) (0,5 điểm)

Ta có \(P = \frac{{{6^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}} = \frac{{{{\left( {2 \cdot 3} \right)}^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}} = \frac{{{2^{3 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}}\)

                \( = {2^{\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - \left( {2 + \sqrt 5 } \right)}} \cdot {3^{\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)}} = {2^1} \cdot {3^2} = 18.\)

b) (0,5 điểm)

Giá bán xe năm đầu tiên: \[{A_1} = 750\,\,000\,\,000\] đồng.

Giá bán xe năm thứ hai: \({A_2} = {A_1} - {A_1} \cdot r = {A_1}\left( {1 - r} \right)\) đồng, với \(r = 1,8\% \).

Giá bán xe năm thứ ba: \({A_3} = {A_2} - {A_2}r = {A_2}\left( {1 - r} \right) = {A_1}{\left( {1 - r} \right)^2}\) đồng.

…

Giá bán xe năm thứ \(n\): \({A_n} = {A_1}{\left( {1 - r} \right)^{n - 1}}\) đồng.

Vậy giá bán xe năm thứ 8 (năm 2030) là:

\({A_6} = {A_1}{\left( {1 - r} \right)^7} = 750\,\,000\,\,000{\left( {1 - 1,8\% } \right)^7} \approx 660\,\,453\,\,000\) đồng.

Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\).

Tam giác \[SAC\] cân tại \[S\] (do \[SA = SC\]) nên \[SO \bot AC\] hay \[AC \bot SO\].

Đáy là hình vuông nên có \[AC \bot BD\]. Do đó \[AC \bot \left( {SBD} \right)\] (1).

Ta có \[IK\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\] nên \[IK\,{\rm{//}}\,AC\] (2).

Từ (1) và (2) ta có \[IK \bot \left( {SBD} \right)\].

Theo dự kiến, cần 24 tháng để hoàn thành công trình. Vậy khối lượng công việc trên một tháng theo dự tính là \(\frac{1}{{24}}\) (công trình).

Khối lượng công việc của tháng thứ 2 là \({T_2} = \frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{1}{{24}}{\left( {1 + 0,04} \right)^1}\).

Khối lượng công việc của tháng thứ 3 là

\({T_3} = \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right) + 0,04 \cdot \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right) = \frac{1}{{24}}{\left( {1 + 0,04} \right)^2}\).

Như vậy, khối lượng công việc của tháng thứ \(n\) là \({T_n} = \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}}\).

Ta có \(\frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^0} + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^1} + ... + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{24}} \cdot \frac{{1 - {{\left( {1 + 0,04} \right)}^n}}}{{1 - \left( {1 + 0,04} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {1 + 0,04} \right)^n} = \frac{{49}}{{25}} \Leftrightarrow n = {\log _{1 + 0,04}}\frac{{49}}{{25}} \approx 17,2\).

Vậy công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ 18 từ khi khởi công.