Để mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn cho góc từ 0° đến 180° ta thực hiện như sau:

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Gọi (x₀; y₀) là tọa độ của điểm M, ta có:

+ sin của góc α là tung độ y₀ của điểm M, được kí hiệu là sinα;

+ côsin của góc α là hoành độ x₀ của điểm M, được kí hiệu là cosα;

+ tang của α là tỉ số  (x₀ ≠ 0), được kí hiệu là tanα = $\frac{y_0}{x_0}$ ;

+ côtang của α là tỉ số (y₀ ≠ 0), được kí hiệu là cotα = $\frac{x_0}{y_0}$.

Trong tam giác HOM vuông tại H có cạnh huyền OM = 1:

Ta có, sinα = sin$\widehat{HOM}$ = $\frac{MH}{OM}$  = $\frac{y_0}{1}=y_0$ ;

cosα = cos$\widehat{HOM}$  =$\frac{OH}{OM}$ = $\frac{x_0}{1}=x_0$ ;

tanα = $\frac{MH}{OH}$  = $\frac{y_0}{x_0}$ ;

cotα  = $\frac{OH}{MH}$  = $\frac{x_0}{y_0}$.

Vậy sinα  = y₀; cosα  = x₀ ; tanα  = $\frac{y_0}{x_0}$  ; cotα =$\frac{x_0}{y_0}$ .

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho$\widehat{xOM}={135}^o$ . Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Vì  $\widehat{xOM}={135}^o$nên $\widehat{MOP}={45}^o$ , $\widehat{MON}={45}^o$ .

Tam giác MOP là tam giác vuông cân với cạnh huyền OM = 1.

cos $\widehat{MOP}$ = cos45° = $\frac{OP}{OM}$ =$\frac{OP}{1}=OP$

Mà cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Do đó: OP = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tam giác MON vuông tại N có góc $\widehat{MON}={45}^o$  và cạnh huyền OM = 1

cos $\widehat{MON}$ = cos 45° = $\frac{ON}{OM}$ =$\frac{ON}{1}=ON$

Mà cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Do đó: ON = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên $M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Vậy theo định nghĩa ta có:

sin135° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$  ;

cos135° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

tan135° =  – 1;

cot135° =  – 1.

Gọi đường kính của nửa đường tròn đơn vị là AB như hình dưới.

Ta có sin120° = sin(180° – 60°) = sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

cos150° = cos(180° – 30°) = – cos30° = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$  ;

cot135° = cot(180° – 45°) = – cot45° = –1.

Trên trục Oy của nửa đường tròn đơn vị lấy điểm $H\left(0;\frac{1}{2}\right)$ .

Từ điểm H kẻ đường thẳng song song với trục Ox, cắt nửa đường tròn tại hai điểm M và M’.

Ta có A = sin150° + tan135° + cot45° = $\frac{1}{2}+(-1)+1$ = $\frac{1}{2}$ .

B = 2cos30° – 3tan150° + cot135° = $2.\frac{\sqrt{3}}{2}-3.\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+(-1)$ = $2\sqrt{3}-1$ .

Vậy A = $\frac{1}{2}$  ; B = $2\sqrt{3}-1$ .

Từ bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt ta có:

a) sinα  = $\frac{\sqrt{3}}{2}$  ⇒ α  = 60° hoặc α  = 120°.

Vậy α  = 60° hoặc α  = 120°.

b) cosα  = $\frac{-\sqrt{2}}{2}$ ⇒ α  = 135°.

Vậy α  = 135°.

c) tanα  =  –1 ⇒ α  = 135°.

Vậy α  = 135°.

d) cotα  = $-\sqrt{3}$  ⇒ α  = 150°.

Vậy α  = 150°.

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được:

a) cos80°43'51" ≈ 0,161072728

tan147°12'25'' ≈  – 0,644284494

Để tính cot99°9'19" ta tính tan99°9'19" trước.

Ta có: tan99°9'19" ≈ – 6,204869911

Suy ra: cot99°9'19" =  $\frac{1}{tan99°9\text{'}19"}$≈  – 0,1611637334.

b) α  ≈ 136°18'10".

Ta có E = 2cos30° + sin150° + tan135°

= 2sin(90° – 30°) + sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°)

= 2sin60° + sin30° – tan 45° = $2.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}-1$ = $\frac{2\sqrt{3}-1}{2}$ .

a) Ta có sin20° = sin(180° – 20°) = sin160° (hai góc bù nhau).

Vậy sin20° = sin160°.

b) Ta có: cos50° = – cos(180° – 50°) = – cos130°   (hai góc bù nhau).

Vậy cos50° = – cos 130°.

a) Trong tam giác ABC ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={180}^o-\widehat{A}$ .

Khi đó sinA = sin(180°  –  A) = sin(B + C).

Vậy sinA = sin(B + C).

b) cosA = – cos(180° – A) = – cos(B + C).

Vậy cosA = – cos(B + C).

a) Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$ .

Ta có A = 2sin²α  + 5cos²α  

= 2sin²α  + 2cos²α  + 3cos²α  

= 2(cos²α  + sin²α ) + 3cos²α

= 2 . 1 + 3. ${\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$ = 2 + 3. $\frac{1}{2}$ = $\frac{7}{2}$.

Vậy A = $\frac{7}{2}$  .

a) Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:

sin168°45'33" ≈ 0,1949334051;

cos17°22'35" ≈ 0,9543634797;

tan156°26'39" ≈  – 0,4359715781;

cot 56°36'42" ≈ 0,6590863967.

b)

i) sinα  = 0,862 ⇒ α  ≈ 59°32'31".

ii) cosα  =  – 0,567 ⇒ α  ≈ 124°32'29".

iii) tanα  = 0,334 ⇒ α ≈ 18°28'10".