Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn α, lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Giả sử điểm M có tọa độ (x₀; y₀). Áp dụng cách tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:

sinα = y₀; cosα = x₀ ; tanα = $\frac{y_0}{x_0}$  ; cotα =$\frac{x_0}{y_0}$ .

Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α  ≤ 180°), ta đều có:

a) cos²α  + sin²α  = 1;

b) tanα  . cotα  = 1 (0° < α  < 180°, α  ≠ 90°).

c) 1 + tan²α  = $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$  (α  ≠ 90°);

d) 1 + cot² α  = $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$  (0° < α  < 180°).

Tìm α (0° ≤ α  ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:

a) cosα  = $\frac{-\sqrt{2}}{2}$ ;

b) sinα  = 0;

c) tanα  = 1;

d) cotα  không xác định.

Cho biết sinα = $\frac{1}{2}$ , tìm góc α (0° ≤ α  ≤ 180°) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị.

Cho biết sin30° = $\frac{1}{2}$ ; sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; tan45° = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos30° + sin150° + tan135°.

Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°.

Chứng minh rằng:

a) sin20° = sin160°;

b) cos50° =  – cos130°.

Làm thế nào để mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn cho các góc từ 0° đến 180°?

a) Tính cos80°43'51"; tan147°12'25''; cot99°9'19".

b) Tìm α (0° ≤ α  ≤ 180°), biết cosα  = – 0,723.

Tính

A = sin150° + tan135° + cot45°;

B = 2cos30° – 3tan150° + cot135°.

Tìm góc α  (0° ≤ α  ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:

a) sinα  = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

b) cosα = $\frac{-\sqrt{2}}{2}$ ;

c) tanα  =  – 1;

d) cotα  = $-\sqrt{3}$ .

Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Tính: sin168°45'33"; cos17°22'35"; tan156°26'39"; cot 56°36'42".

b) Tìm α (0° ≤ α  ≤ 180°) trong các trường hợp sau:

i) sinα  = 0,862;

ii) cosα  =  – 0,567;

iii) tanα  = 0,334.

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) sinA = sin(B + C);

b) cosA =  – cos(B + C).

Cho góc α với cosα  = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức A = 2sin²α  + 5cos²α .

Tính các giá trị lượng giác: sin120°; cos150°; cot135°.