9 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập cuối chương IV có đáp án

Câu 1:

17/06/2026

Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, $\hat{B A C} = 120 °$ . Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp;

c) Diện tích của tam giác;

d) Độ dài đường cao xuất phát từ A;

e) $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A M} . \vec{B C}$ với M là trung điểm của BC.

Xem đáp án

a) + Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cos $\hat{B A C}$

= 3² + 4² – 2 . 3. 4 . cos 120°

= 9 + 16 – (– 12)

= 37

Suy ra: $B C = \sqrt{37} \approx 6$ .

+ Ta có: $\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C}$ $= \frac{3^{2} + 6^{2} - 4^{2}}{2.3.6} = \frac{29}{36}$

Suy ra $\hat{B} \approx 36 °$ .

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{B C}{\sin A} = 2 R$

Suy ra: $R = \frac{B C}{2 \sin A} = \frac{6}{2. \sin 120 °} = 2 \sqrt{3} \approx 3$ .

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R ≈ 3.

c) Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A$ $= \frac{1}{2} .3.4. \sin 120 ° = 3 \sqrt{3} \approx 5$ .

d) Kẻ đường cao AH.

Ta có diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} A H . B C$

Suy ra: $A H = \frac{2 S}{B C} = \frac{2.5}{6} \approx 2$ .

e)

+ Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

$= A B . A C . \cos \hat{B A C}$

= 3 . 4 . cos 120° = – 6.

Do đó: $\vec{A B} . \vec{A C} = - 6$ .

+ Do M là trung điểm của BC nên ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$ .

Suy ra: $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ .

Khi đó: $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C}$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . (\vec{B A} + \vec{A C})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . ((- \vec{A B}) + \vec{A C})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A B}) . (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= \frac{1}{2} ({\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2})$

$= \frac{1}{2} (A C - A B) = \frac{1}{2} (4 - 3) = \frac{1}{2}$

Vậy $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{1}{2}$ .

Câu 2:

17/06/2026

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

A = (sin 20° + sin 70°)² + (cos 20° + cos 110°)²,

B = tan 20° + cot 20° + tan 110° + cot 110°.

Xem đáp án

+ Ta có:

A = (sin 20° + sin 70°)² + (cos 20° + cos 110°)²

= [sin(90° – 70°) + sin 70°]² + [cos(90° – 70°) + cos(180° – 70°)]²

= (cos70° + sin 70°)² + [sin 70° + (– cos 70°)]²

= (cos 70° + sin 70°)² + (sin 70° – cos 70°)²

= cos²70° + 2 . cos 70° . sin 70° + sin² 70° + sin² 70° – 2 . sin 70° . cos 70° + cos² 70°

= 2(cos² 70° + sin² 70°)

= 2 . 1 = 2

Vậy A = 2.

+ Ta có:

B = tan 20° + cot 20° + tan 110° + cot 110°

= tan (90° – 70°) + cot(90° – 70°) + tan (180° – 70°) + cot (180° – 70°)

= cot 70° + tan 70° + (– tan 70°) + (– cot 70°)

= (cot 70° – cot 70°) + (tan 70° – tan 70°)

= 0 + 0 = 0

Vậy B = 0.

Câu 3:

17/06/2026

Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó.

Bạn Hoài vẽ góc xOy và đố bạn Đông làm thế nào để có thể biết được số đo góc của góc này khi không có thước đo góc. Bạn Đông làm như sau:

- Chọn các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy sao cho OA = OB = 2 cm;

- Đo độ dài đoạn thẳng AB được AB = 3,1 cm.

Từ các dữ kiện trên bạn Đông tính được cos $\hat{x O y}$ , từ đó suy ra độ lớn góc xOy.

Em hãy cho biết số đo góc xOy ở Hình 69 bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó (ảnh 1)

Xem đáp án

* Tính góc xOy bạn Hoài vẽ:

Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó (ảnh 2)

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABO ta có: $\cos O = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B}$ $= \frac{2^{2} + 2^{2} - {(3,1)}^{2}}{2.2.2}$ $= - \frac{161}{800}$

Do đó: $\hat{O} \approx 102 °$

Vậy từ các dự kiện bạn Đông tính được, ta suy ra $\hat{x O y} \approx 102 °$ .

Câu 4:

17/06/2026

Có hai trạm quan sát A và B ven hồ và một trạm quan sát C ở giữa hồ. Để tính khoảng cách từ A và từ B đến C, người ta làm như sau (Hình 70):

- Đo góc BAC được 60°, đo góc ABC được 45°;

- Đo khoảng cách AB được 1 200 m.

Khoảng cách từ trạm C đến các trạm A và B bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Có hai trạm quan sát A và B ven hồ và một trạm quan sát C ở giữa hồ. Để tính khoảng cách từ A và từ B đến C (ảnh 1)

Xem đáp án

Ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác ABC.

Ta có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác ABC)

Suy ra: $\hat{C} = 180 ° - (\hat{A} + \hat{B}) = 180 ° - (60 ° + 45 °) = 75 °$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B}$

Do đó: $A C = \frac{A B . \sin B}{\sin C} = \frac{1200. \sin 45 °}{\sin 75 °} \approx 878$ (m);

$B C = \frac{A B . \sin A}{\sin C} = \frac{1200. \sin 60 °}{\sin 75 °} \approx 1076$ (m).

Vậy khoảng cách từ trạm C đến trạm A khoảng 878 m và từ trạm C đến trạm B khoảng 1 076 m.

Câu 5:

17/06/2026

Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song với nhau).

Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song với nhau) (ảnh 1)

Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đó di chuyển dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50 m và tiếp tục đo được góc nghiêng β = 65° so với bờ bên kia tới vị trí C đã chọn (Hình 71). Hỏi độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Xem đáp án

Dựng AD vuông góc với hai bên bờ sông, khi đó AD là độ rộng của khúc sông chạy qua vị trí của người đó đang đứng. Ta cần tính khoảng cách AD.

Xét tam giác ABC ta có: $\hat{C A B} + \hat{A C B} = 65 °$ (tính chất góc ngoài tại đỉnh B của tam giác)

Suy ra $\hat{A C B} = 65 ° - \hat{C A B} = 65 ° - 35 ° = 30 °$ .

Lại có $\hat{A B C} = 180 ° - 65 ° = 115 °$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{A B}{\sin \hat{A C B}} = \frac{A C}{\sin \hat{A B C}}$ .

Suy ra $A C = \frac{A B . \sin \hat{A B C}}{\sin \hat{A C B}} = \frac{50. \sin 115 °}{\sin 30 °} \approx 90,6$ .

Ta có: $\hat{D A C} = 90 ° - 35 ° = 55 °$ .

Tam giác ADC vuông tại D nên $\cos \hat{D A C} = \frac{A D}{A C}$ .

$\Rightarrow A D = A C . \cos \hat{D A C} = 90,6. \cos 55 ° \approx 52$ (m).

Vậy độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là 52 m.

Câu 6:

17/06/2026

Để đo khoảng cách giữa hai vị trí M, N ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí O bên ngoài ốc đảo sao cho: O không thuộc đường thẳng MN; các khoảng cách OM, ON và góc MON là đo được (Hình 72). Sau khi đo, ta có OM = 200 m, ON = 500 m, $\hat{M O N} = 135 °$ .

Khoảng cách giữa hai vị trí M, N là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem đáp án

Ba vị trí O, M, N tạo thành ba đỉnh của tam giác.

Tam giác OMN có OM = 200 m, ON = 500 m và $\hat{M O N} = 135 °$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OMN ta có:

MN² = OM² + ON² – 2 . OM . ON . cos $\hat{M O N}$

= 200² + 500² – 2 . 200 . 500 . cos135°

≈ 431421

Suy ra: MN ≈ 657 m.

Vậy khoảng cách giữa hai ví trí M, n khoảng 657 m.

Câu 7:

17/06/2026

Chứng minh:

a) Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{C E} = \vec{A E}$ với E là điểm bất kì;

b) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{I N} = 2 \vec{M N}$ với M, N là hai điểm bất kì;

c) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M N} = 3 \vec{N G}$ với M, N là hai điểm bất kì.

Xem đáp án

a)

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Với E là điểm bất kì ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{C E} = \vec{A C} + \vec{C E} = \vec{A E}$

Vậy $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{C E} = \vec{A E}$ với E là điểm bất kì.

b)

Vì I là trung điểm của AB nên với điểm M bất kì ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$

Do đó, với điểm N bất kì, ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{I N} = 2 \vec{M I} + 2 \vec{I N} = 2 (\vec{M I} + \vec{I N})$ $= 2 \vec{M N}$ .

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{I N} = 2 \vec{M N}$ với M, N là hai điểm bất kì.

c)

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm M bất kì ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Khi đó với điểm N bất kì ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M N}$ $= 3 \vec{M G} - 3 \vec{M N}$

$= 3 (\vec{M G} + (- \vec{M N}))$ $= 3 (\vec{M G} + \vec{N M})$

$= 3 (\vec{N M} + \vec{M G}) = 3 \vec{N G}$

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M N} = 3 \vec{N G}$ với M, N là hai điểm bất kì.

Câu 8:

17/06/2026

Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, $\hat{B A D} = 60 °$ (Hình 73).

Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, góc BAD = 60 độ (Hình 73) (ảnh 1)

a) Biểu thị các vectơ $\vec{B D}, \vec{A C}$ theo $\vec{A B}, \vec{A D}$ .

b) Tính các tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A D}, \vec{A B} . \vec{A C}, \vec{B D} . \vec{A C}$ .

c) Tính độ dài các đường chéo BD, AC.

Xem đáp án

a) Ta có: $\vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} = - \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

b) Ta có: $\vec{A B} . \vec{A D} = |\vec{A B}| . |\vec{A D}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A D})$

$= A B . A D . \cos \hat{B A D}$ = 4 . 6 . cos60° = 12.

Do đó: $\vec{A B} . \vec{A D} = 12$

Ta cũng có: $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A B} . (\vec{A B} + \vec{A D})$

$= {\vec{A B}}^{2} + \vec{A B} . \vec{A D}$ = AB² + 12 = 4² + 12 = 28.

Do đó: $\vec{A B} . \vec{A C} = 28$

Lại có: $\vec{B D} . \vec{A C} = (- \vec{A B} + \vec{A D}) . (\vec{A B} + \vec{A D})$

$= (\vec{A D} - \vec{A B}) . (\vec{A D} + \vec{A B})$ $= {\vec{A D}}^{2} - {\vec{A B}}^{2}$

= AD² – AB² = 6² – 4² = 20.

Vậy $\vec{B D} . \vec{A C} = 20$

c) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD có:

BD² = AB² + AD² – 2 . AB . AD . cosA

= 4² + 6² – 2 . 4 . 6 . cos 60° = 28

$\Rightarrow B D = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$

Ta có: $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ $\Rightarrow {(\vec{A C})}^{2} = {(\vec{A B} + \vec{A D})}^{2}$

$\Leftrightarrow {\vec{A C}}^{2} = {\vec{A B}}^{2} + 2. \vec{A B} . \vec{A D} + {\vec{A D}}^{2}$

$\Leftrightarrow A C^{2} = A B^{2} + 2 \vec{A B} . \vec{A D} + A D^{2}$

Suy ra: AC² = 4² + 2 . 12 + 6² = 76

$\Rightarrow A C = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19}$ .

Câu 9:

17/06/2026

Hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm O và tạo với nhau một góc $(\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}) = α$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (Hình 74). Lập công thức tính cường độ của hợp lực $\vec{F}$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (giả sử chỉ có đúng hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ làm cho vật di chuyển).

Hai lực F1, F2 cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm O và tạo với nhau một góc (ảnh 1)

Xem đáp án

Ta thấy, AOBC là hình bình hành.

Do đó: $\vec{O C} = \vec{O A} + \vec{O B}$

Suy ra: $\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ (1).

Ta cần tính cường độ của hợp lực $\vec{F}$ hay chính là tính $|\vec{F}|$ .

Từ (1) suy ra ${(\vec{F})}^{2} = {(\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}})}^{2}$ .

$\Leftrightarrow {\vec{F}}^{2} = {\vec{F_{1}}}^{2} + 2. \vec{F_{1}} . \vec{F_{2}} + {\vec{F_{2}}}^{2}$

$\Leftrightarrow {|\vec{F}|}^{2} = {|\vec{F_{1}}|}^{2} + 2. \vec{F_{1}} . \vec{F_{2}} + {|\vec{F_{2}}|}^{2}$ . (2)

Ta lại có: $\vec{F_{1}} . \vec{F_{2}} = |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos (\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}})$ $= |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α$ (3).

Từ (2) và (3) suy ra: ${|\vec{F}|}^{2} = {|\vec{F_{1}}|}^{2} + 2. |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α + {|\vec{F_{2}}|}^{2}$

$\Rightarrow |\vec{F}| = \sqrt{{|\vec{F_{1}}|}^{2} + 2. |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α + {|\vec{F_{2}}|}^{2}}$ .

Vậy công thức tính cường độ của hợp lực $\vec{F}$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C là $|\vec{F}| = \sqrt{{|\vec{F_{1}}|}^{2} + 2. |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α + {|\vec{F_{2}}|}^{2}}$ .

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3