Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II

Giải Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3 trang 99 Toán lớp 10 Đại số: Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:

Một đơn vị sản phẩm I lãi 33 nghìn đồng, một sản phẩm II lãi 55 nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất.

*Lời giải

Gọi x là số đơn vị sản phẩm loại I, y là số đơn vị sản phẩm loại II được nhà máy lập kế hoạch sản xuất.

Tiền lãi nhà máy nhận được là L = 3x + 5y (nghìn đồng).

Theo đề bài:

Nhóm A cần 2x + 2y (máy);

Nhóm B cần 0x + 2y = 2y (máy);

Nhóm C cần 2x + 4y (máy);

Vì số máy tối đa ở nhóm A là 10 máy, nhóm B là 4 máy, nhóm C là 12 máy nên x, y phải thỏa mãn hệ bất phương trình:

(I) $\left\{\begin{array}{c}x\ge 0,y\ge 0\\ 2x+2y\le 10\\ 2y\le 4\\ 2x+4y\le 12\end{array}\right.$

Hay (II) $\left\{\begin{array}{c}x\ge 0,y\ge 0\\ y\le 5-x\\ y\le 2\\ y\le -\frac{1}{2}x+3\end{array}\right.$

Khi đó bài toán trở thành: trong các nghiệm của hệ bất phương trình (1) thì nghiệm (x; y) = (x₀;y₀) nào cho L = 3x + 5y lớn nhất.

Lần lượt vẽ các đường thẳng sau trên hệ trục tọa độ.

(d1): x = 0;

(d2): y = 0;

(d3): 2x + 2y = 10;

(d4): 2y = 4;

(d5): 2x + 4y =12;

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là ngũ giác ABCDE kể cả miền trong.

Ta có: L đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ABCDE.

Tính giá trị của biểu thức L = 3x + 5y tại các đỉnh ta được:

Tại đỉnh A(0; 2), L = 10

Tại đỉnh B(2; 2), L = 16

Tại đỉnh C(4; 1), L = 17

Tại đỉnh D(5; 0), L = 15

Tại đỉnh E(0; 0), L = 0.

Do đó, L = 3x + 5y lớn nhất là 17 (nghìn đồng) khi: x = 4; y = 1

Vậy để có tiền lãi cao nhất, cần sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm loại II.

Số tiền lãi thu được là 3.4 + 5.1 = 17 nghìn đồng.

*Phương pháp giải

Gọi x là số đơn vị sản phẩm loại I, y là số đơn vị sản phẩm loại II được nhà máy lập kế hoạch sản xuất.

- lập các bất phương trình từ dữ kiện của bài toán

- từ các bất phương trình ta lập được 1 hệ bất phương trình

- biểu diễn miền nghiệm trên trục số

- tại mỗi đỉnh tính giá trị. Để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất nên ta sẽ chọn đỉnh có giá trị max

*Lý thuyến cần nắm và các dạng bài toán về bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

$\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le c\left(\mathrm{ax}+\mathrm{by}\ge c,\mathrm{ax}+\mathrm{by}<c,\mathrm{ax}+\mathrm{by}>c\right)$

Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

- Cặp số $\left(x_0;y_0\right)$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le c$ nếu bất đẳng thức ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0\le c$ đúng.

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le c$ được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

- Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}=c$ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành 2 nửa mặt phẳng bờ d:

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ $\left(x;y\right)$thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}>c$;

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ $\left(x;y\right)$thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}<c$;

Bờ d gồm các điểm có tọa độ $\left(x;y\right)$ thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}<c$.

- Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le c$:

+ Vẽ đường thẳng $d:\mathrm{ax}+\mathrm{by}=c$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Lấy một điểm $M_0\left(x_0;y_0\right)$ không thuộc d.

+ Tính ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0$ và so sánh với c.

+ Nếu ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0<c$ thì nửa mặt phẳng bờ d chứa $M_0$ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0>c$ thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa $M_0$ là miền nghiệm của bất phương trình.

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}<c$ là miền nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le c$ bỏ đi đường thẳng $\mathrm{ax}+\mathrm{by}=c$ và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán 10 Kết nối tri thức

Sách bài tập Toán 10 Bài 3 (Kết nối tri thức): Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 96 Toán 10 Đại số: Biểu diễn hình học tập nghiệm...

Hoạt động 2 trang 97 Toán 10 Đại số: Biểu diễn hình học tập nghiệm...

Bài 1 trang 99 Toán 10 Đại số: Biểu diễn hình học tập tập nghiệm...

Bài 2 trang 99 Toán 10 Đại số: Biểu diễn hình học tập tập nghiệm...