Chuyên đề Toán 12 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chuyên đề 3 trang 71

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 3 trang 71

Bài 1 trang 71 Chuyên đề Toán 12: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

a) Xác suất của biến cố “X lớn hay bằng 2” là

A. 0.

B. 0,4.

C. 0,8.

D. 0,2.

b) Kì vọng của X là

A. –1.

B. 0,4.

C. 1.

D. 1,4.

c) Phương sai của X là

A. 13,44.

B. 15,4.

C. 1,96.

D. 12,6.

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: B

Xác suất của biến cố “X lớn hay bằng 2” là:

P(X ≥ 2) = P(X = 5) = 0,4.

b) Đáp án đúng là: D

Kì vọng của X là:

E(X) = (–5) . 0,2 + 1 . 0,4 + 5 . 0,4 = 1,4.

c) Đáp án đúng là: A

Phương sai của X là:

V(X) = (–5)² . 0,2 + 1² . 0,4 + 5² . 0,4 – 1,4² = 13,44.

Bài 2 trang 71 Chuyên đề Toán 12: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố nhị thức B(5; 0,2).

a) Xác suất của biến cố “X bằng 2” là

A. 0,2048.

B. 0,0512.

C. 0,0205.

D. 0,4.

b) Kì vọng của X là

A. 0,2.

B. 1.

C. 0,8.

D. 5.

c) Phương sai của X là

A. 0,8.

B. 0,89.

C. 0,64.

D. 1.

Lời giải:

Với biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố nhị thức B(5; 0,2) ta có:

$P\left(X=k\right)=C_5^k\cdot 0,2^k\cdot {\left(1-0,2\right)}^{5-k}=C_5^k\cdot 0,2^k\cdot 0,8^{5-k},$ với k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

a) Đáp án đúng là: A

Xác suất của biến cố “X bằng 2” là:

$P\left(X=2\right)=C_5^2\cdot 0,2^2\cdot 0,8^{5-2}=0,2048.$

b) Đáp án đúng là: B

Kì vọng của X là:

E(X) = np = 5 . 0,2 = 1.

c) Đáp án đúng là: A

Phương sai của X là:

V(X) = np(1 – p) = 5 . 0,2 . (1 – 0,2) = 0,8.

Bài 3 trang 71 Chuyên đề Toán 12: Kết quả khảo sát chiều cao (đơn vị: cm, làm tròn đến hàng đơn vị) của 50 cây gỗ Trầm Hương giống được thống kê lại ở bảng tần số sau:

Chọn ngẫu nhiên 1 cây giống trong 50 cây đó và gọi X là chiều cao của cây (đơn vị: cm, làm tròn đến hàng đơn vị). Hãy tính kì vọng và độ lệch chuẩn của X.

Lời giải:

Do có 5 cây có chiều cao 18 cm nên số kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng 18” là 5. Xác suất của biến cố “X bằng 18” là $P\left(X=18\right)=\frac{5}{50}=0,1.$

Tương tự, ta có $P\left(X=19\right)=\frac{21}{50}=0,42;$ $P\left(X=20\right)=\frac{17}{50}=0,34;$ $P\left(X=21\right)=\frac{7}{50}=0,14.$

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

Kì vọng của X là:

E(X) = 18 . 0,1 + 19 . 0,42 + 20 . 0,34 + 21 . 0,14 = 19,52.

Phương sai của X là:

V(X) = 18² . 0,1 + 19² . 0,42 + 20² . 0,34 + 21² . 0,14 – 19,52² = 0,7296.

Độ lệch chuẩn của X là:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{0,7296}=\frac{2\sqrt{114}}{25}\approx 0,854.$

Bài 4 trang 71 Chuyên đề Toán 12: Đầu năm cô Hà vay ngân hàng 2 triệu đồng mua cổ phiếu mã DEF với giá 20 000 đồng một cổ phiếu. Lãi suất ngân hàng là 9,5% một năm. Đến cuối năm, cô Hà bán toàn bộ cổ phiếu đó và lấy tiền trả nợ cho ngân hàng. Gọi X là số tiền còn lại. Hãy lập bảng phân bố xác suất của X, biết rằng đến cuối năm, mỗi cổ phiếu mã DEF có giá là 25 000 đồng với xác suất là 0,3 và 31 000 đồng với xác suất là 0,7.

Lời giải:

Số cổ phiếu DEF cô Hà mua được là:

2 . 10⁶ : 20 000 = 100 (cổ phiếu).

Số tiền vốn và lãi cô Hà phải trả cho ngân hàng sau 1 năm là:

2 . 10⁶ . (1 + 9,5%) = 2 190 000 (đồng).

Nếu cuối năm cổ phiếu DEF có giá là 25 000 đồng thì khoản lãi cô Hà thu được sau 1 năm là:

100 . 25 000 – 2 190 000 = 310 000 (đồng) với xác suất 0,3.

Nếu cuối năm cổ phiếu DEF có giá là 31 000 đồng thì khoản lãi cô Hà thu được sau 1 năm là:

100 . 31 000 – 2 190 000 = 910 000 (đồng) với xác suất 0,7.

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

Bài 5 trang 72 Chuyên đề Toán 12: Một hộp chứa 5 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 5. Thẻ số 5 có thể đổi được 10 điểm còn mỗi thẻ ghi số chẵn có thể đổi được 5 điểm. Các thẻ còn lại không đổi được điểm. Rút ra ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ hộp và đổi các thẻ này lấy điểm. Gọi X là số điểm đổi được. Hãy lập bảng phân bố xác suất, tính kì vọng và phương sai của X.

Lời giải:

Tập các giá trị của X là {0; 5; 10; 15}.

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ hộp là: $n\left(\Omega \right)=C_5^2=10.$

Biến cố “X bằng 0” xảy ra khi cả hai thẻ không đổi được điểm (thẻ đánh số 1 hoặc số 3) nên số các kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng 0” là 1.

Xác suất của biến cố “X bằng 0” là: $P\left(X=0\right)=\frac{1}{10}=0,1.$

Tương tự, ta có: $P\left(X=5\right)=\frac{C_2^1\cdot C_2^1}{10}=\frac{4}{10}=0,4;$ $P\left(X=10\right)=\frac{C_2^2+C_2^1\cdot 1}{10}=\frac{3}{10}=0,3;$ $P\left(X=15\right)=\frac{C_2^1\cdot 1}{10}=\frac{2}{10}=0,2.$

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

Kì vọng của X là:

E(X) = 0 . 0,1 + 5 . 0,4 + 10 . 0,3 + 15 . 0,2 = 8.

Phương sai của X là:

V(X) = 0² . 0,1 + 5² . 0,4 + 10² . 0,3 + 15² . 0,2 – 8² = 21.

Bài 6 trang 72 Chuyên đề Toán 12: Trong hộp có 10 quả trứng cùng loại, trong đó có 8 quả trứng bình thường và 2 quả trứng đặc biệt có 2 lòng đỏ. Bác Lan lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 quả trứng từ hộp, đập chúng vào bát và quan sát số lòng đỏ trứng. Gọi X là số lòng đỏ bác Lan quan sát được. Hãy lập bảng phân bố xác suất và tính kì vọng của X.

Lời giải:

Tập các giá trị của X là {2; 3; 4}.

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả trứng từ hộp là: $n\left(\Omega \right)=C_{10}^2=45.$

Biến cố “X bằng 2” xảy ra khi cả hai quả trứng đều chỉ có 1 lòng đỏ nên số các kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng 2” là $C_8^2=28.$

Xác suất của biến cố “X bằng 2” là: $P\left(X=2\right)=\frac{28}{45}.$

Tương tự, ta có: $P\left(X=3\right)=\frac{C_8^1\cdot C_2^1}{45}=\frac{16}{45};$ $P\left(X=4\right)=\frac{C_2^2}{45}=\frac{1}{45}.$

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

Kì vọng của X là:

$E\left(X\right)=2\cdot \frac{28}{45}+3\cdot \frac{16}{45}+4\cdot \frac{1}{45}=2,4.$

Bài 7 trang 72 Chuyên đề Toán 12: Tỉ lệ người cao tuổi trong một cộng đồng dân cư là 23%. Chọn ngẫu nhiên một cách độc lập 5 người trong cộng đồng dân cư. Gọi X là số người cao tuổi trong 5 người được chọn. Hãy tính kì vọng và phương sai của X.

Lời giải:

Gọi T là phép thử “Chọn ngẫu nhiên một người trong cộng đồng dân cư”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 5 lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Người đó là người cao tuổi”. Ta có P(A) = 23% = 0,23.

Do phép thử T được thực hiện 5 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng 0,23 nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức B(5; 0,23).

Kì vọng của X là: E(X) = np = 5 . 0,23 = 1,15.

Phương sai của X là: V(X) = np(1 – p) = 5 . 0,23 . (1 – 0,23) = 0,8855.

Bài 8 trang 72 Chuyên đề Toán 12: Bác Minh thực hiện 10 lần ghép cành một cách độc lập với nhau. Biết rằng xác suất thành công của mỗi lần ghép là 0,75. Hãy tính xác suất của các biến cố:

A: “Có đúng 8 trong 10 lần ghép thành công”;

B: “Có ít nhất 8 trong 10 lần ghép thành công”.

Lời giải:

Gọi T là phép thử “Ghép ngẫu nhiên một cành”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 10 lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Ghép cành thành công”. Ta có P(A) = 0,75.

Do phép thử T được thực hiện 10 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng 0,75 nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức B(10; 0,75). Do đó:

$P\left(X=k\right)=C_{10}^k\cdot 0,{75}^k\cdot {\left(1-0,75\right)}^{10-k}=C_{10}^k\cdot 0,{75}^k\cdot 0,{25}^{10-k},$ với k = 0, 1, …, 10.

Xác suất của biến cố A “Có đúng 8 trong 10 lần ghép thành công” là:

$P\left(X=8\right)=C_{10}^8\cdot 0,{75}^8\cdot 0,{25}^{10-8}\approx 0,282.$

Xác suất của biến cố B “Có ít nhất 8 trong 10 lần ghép thành công” là:

P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

$=C_{10}^8\cdot 0,{75}^8\cdot 0,{25}^{10-8}+C_{10}^9\cdot 0,{75}^9\cdot 0,{25}^{10-9}+C_{10}^{10}\cdot 0,{75}^{10}\cdot 0,{25}^{10-10}$

≈ 0,282 + 0,188 + 0,056 = 0,526.

Bài 9 trang 72 Chuyên đề Toán 12: Ở một khu vực, tất cả trẻ sơ sinh đều đã được tiêm từ 1 đến 4 liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi.

Biểu đồ bên biểu diễn tỉ lệ trẻ em theo số liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B đã được tiêm cho đến khi được 18 tháng tuổi ở khu vực đó.

a) Trung bình mỗi trẻ em ở khu vực đó được tiêm bao nhiêu liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi?

b) Chọn ngẫu nhiên một cách độc lập 50 trẻ em từ khu vực đó. Gọi X là số trẻ em đã được tiêm ít nhất 3 mũi vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi. Hãy tính kì vọng và phương sai của X.

Lời giải:

a) Gọi Y là số mũi vắc xin phòng bệnh Viêm gan B mà mỗi trẻ em ở khu vực đó được tiêm trước khi được 18 tháng tuổi.

Ta có bảng phân bố xác suất của Y là:

Kì vọng của Y là:

E(Y) = 1 . 0,05 + 2 . 0,25 + 3 . 0,3 + 4 . 0,5 = 3,25.

Vậy trung bình mỗi trẻ em ở khu vực đó được tiêm 3,25 liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi.

b) Theo câu a, ta có xác suất trẻ em được tiêm ít nhất 3 mũi vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi là:

P(Y ≥ 3) = P(Y = 3) + P(Y = 4) = 0,3 + 0,5 = 0,8.

Gọi T là phép thử “Chọn ngẫu nhiên một trẻ em từ khu vực đó”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 50 lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Trẻ em đó được tiêm ít nhất 3 mũi vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi”. Ta có P(A) = 0,8.

Do phép thử T được thực hiện 50 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng 0,8 nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức B(50; 0,8).

Kì vọng của X là:

E(X) = np = 50 . 0,8 = 40.

Phương sai của X là:

V(X) = np(1 – p) = 50 . 0,8 . (1 – 0,8) = 8.

Bài 10 trang 72 Chuyên đề Toán 12: Cô An thiết kế một đề thi trắc nghiệm gồm m câu hỏi, mỗi câu hỏi có k lựa chọn. Mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm. Cô An muốn thiết kế sao cho nếu một học sinh lựa chọn phương án trả lời cho mỗi câu hỏi một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau thì điểm số trung bình của học sinh đó sẽ là 10 với độ lệch chuẩn ít nhất là $2\sqrt{2}.$ Cô An cũng muốn số phương án trả lời k ít nhất có thể. Vậy cô An nên thiết kế đề với m và k bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi T là phép thử “Chọn ngẫu nhiên một câu hỏi”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại m lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Trả lời đúng câu hỏi đó”. Ta có $P\left(A\right)=\frac{1}{k}.$

Gọi X là số câu trả lời đúng trong tổng số m câu hỏi.

Do phép thử T được thực hiện m lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng $\frac{1}{k}$ nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức $B\left(m;\frac{1}{k}\right).$

Kì vọng của X là: $E\left(X\right)=m\cdot \frac{1}{k}.$

Phương sai của X là: $V\left(X\right)=m\cdot \frac{1}{k}\cdot \left(1-\frac{1}{k}\right).$

Theo bài, ta có: $m\cdot \frac{1}{k}=10$ và $m\cdot \frac{1}{k}\cdot \left(1-\frac{1}{k}\right)\ge {\left(2\sqrt{2}\right)}^2$

Suy ra $1-\frac{1}{k}\ge 0,8\iff \frac{1}{k}\le 0,2\iff k\ge 5.$

Mà cô An muốn số phương án trả lời k ít nhất có thể nên ta lấy k = 5.

Khi đó, $m=10:\frac{1}{k}=10:\frac{1}{5}=50.$

Vậy m = 50 và k = 5.