Chứng minh rằng: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ

Giải SBT Toán 9 Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

Bài 26 trang 67 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đường thẳng:

y = ax + b (d)

y = a’x + b’ (d’)

Chứng minh rằng: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hai đường thẳng (d) và (d’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a.a’ = -1

Lời giải:

Qua gốc tọa độ, kẻ đường thẳng y = ax // (d) và y = a’x // (d’)

*Chứng minh (d) vuông góc với (d’)

thì a.a’ = -1

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0.

Suy ra: a’ < 0

Khi đó góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng

y = ax là góc nhọn (do a > 0).

Suy ra góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng

y = a’x là góc tù (vì các góc tạo bởi đường thẳng y = ax và đường thẳng y = a’x với tia Ox hơn kém nhau).

Mà đường thẳng y = ax đi qua A(1; a), đường thẳng y = a’x đi qua B(1; a’) nên đoạn AB vuông góc với Ox tại điểm H có hoành độ bằng 1.

Vì (d) ⊥ (d’) nên hai đường thẳng

y = ax và y = a’x vuông góc với nhau 

$\Rightarrow \widehat{AOB}=90°$

Tam giác vuông AOB có OH ⊥ AB. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

Hay: a.|a’| = 1 ⇔ a.(-a’) = 1 ⇔ a.a’ = -1

Vậy nếu (d) vuông góc với (d’) thì a.a’ = -1

*Chứng minh a.a’ = -1 thì

(d) vuông góc với (d’)

Thật vậy , từ a.a’ = -1

$$\begin{gathered} \Rightarrow a.\left|a\text{'}\right|=1\Rightarrow HA.HB=O{H}^2 \\ \Rightarrow \frac{HA}{OH}=\frac{OH}{HB} \end{gathered}$$

$\Rightarrow$tam giác HOA đồng dạng với tam giác HBO

$\Rightarrow \widehat{AOH}=\widehat{OBH}$

$$\begin{gathered} Mà \widehat{OBH}+\widehat{HOB}=90° \\ \Rightarrow \widehat{AOH}+\widehat{HOB}=\widehat{AOB}=90° \end{gathered}$$

từ đó ta có d $\perp$d’

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 25 trang 67 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1)...

Bài 27 trang 68 SBT Toán 9 Tập 1: Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm số...

Bài 28 trang 68 SBT Toán 9 Tập 1: Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm số...

Bài 29 trang 68 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hàm số y = mx + (2m + 1)...

Bài 5.1 trang 68 SBT Toán 9 Tập 1: Hệ số góc của đường thẳng y =$\frac{3x-5}{2}$ ...

Bài 5.2 trang 69 SBT Toán 9 Tập 1: Hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ...

Bài 5.3 trang 69 SBT Toán 9 Tập 1: Góc hợp bởi đường thẳng $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{5}$ và trục Ox...

Bài 5.4 trang 69 SBT Toán 9 Tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A, B, C, D...