Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều

Giải Toán 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Bài 3 trang 18 Toán lớp 12 Hình học: Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Lời giải:

Xét tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi G₁, G₂, G₃ và G₄ lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC.

Gọi M là trung điểm của BC.

Xét tam giác AMD có:

$\frac{M{G}_4}{MA}=\frac{1}{3};\frac{M{G}_1}{MD}=\frac{1}{3}$

 (tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \frac{M{G}_4}{MA}=\frac{M{G}_1}{MD}$

 $\Rightarrow G_1{G}_4\text{//}AD$ (định lý Ta – lét đảo)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{M{G}_4}{MA}=\frac{M{G}_1}{MD} \\ =\frac{G_1{G}_4}{AD}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Mà AD = a

Nên $\frac{G_1{G}_4}{a}=\frac{1}{3}\Rightarrow G_1{G}_4=\frac{a}{3}$

Tương tự ta có:

G₁G₂ = G₂G₃ = G₃G₄ 

= G₁G₃ = G₁G₄ = G₂G₄ = $\frac{a}{3}$

Tâm các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G₁G₂G₃G₄ có độ dài mỗi cạnh là $\frac{a}{3}$.

Vậy tứ diện G₁G₂G₃G₄ là tứ diện đều.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 15 Toán 12 Hình học: Tìm ví dụ về khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi trong thực tế...

Hoạt động 2 trang 16 Toán 12 Hình học: Đếm số đỉnh, số cạnh của khối bát diện đều...

Hoạt động 3 trang 17 Toán 12 Hình học: Chứng minh rằng tam giác IEF, IFM, IMN,...

Hoạt động 4 trang 18 Toán 12 Hình học: Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều...

Bài 1 trang 18 Toán 12 Hình học: Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.123),...

Bài 2 trang 18 Toán 12 Hình học: Cho hình lập phương (H)...

Bài 4 trang 18 Toán 12 Hình học: Cho hình bát diện đều ABCDEF...