Cho hình lập phương (H)

Giải Toán 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Bài 2 trang 18 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).

Lời giải:

Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (hình (H)).

Suy ra diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là:

S_H = 6.a² (đvdt).

Gọi tâm các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ.

Suy ra (H’) là bát diện đều EMNPQF.

+ Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AA’D  

$\Rightarrow$A’D = $a\sqrt{2}$.

+ EM là đường trung bình của ΔBA’D

$$\begin{gathered} \Rightarrow EM=\frac{1}{2}{A}^{\text{'}}D \\ =\frac{1}{2}a\sqrt{2}=\frac{a}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

(H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng $\frac{a}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow$Diện tích một mặt của (H’) là:

$$\begin{gathered} S_{1H^{\text{'}}}=\frac{1}{2}.\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{a}{\sqrt{2}}.\sin 60° \\ =\frac{a^2\sqrt{3}}{8} \end{gathered}$$

$\Rightarrow$Diện tích toàn phần của (H’) là:

$$\begin{gathered} S_{H^{\text{'}}}=8S_{1H^{\text{'}}} \\ =8.\frac{a^2\sqrt{3}}{8}=a^2\sqrt{3} \end{gathered}$$

Vậy tỉ số diện tích cần tính là:

$\frac{S_H}{S_{H^{\text{'}}}}=\frac{6a^2}{a^2\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 15 Toán 12 Hình học: Tìm ví dụ về khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi trong thực tế...

Hoạt động 2 trang 16 Toán 12 Hình học: Đếm số đỉnh, số cạnh của khối bát diện đều...

Hoạt động 3 trang 17 Toán 12 Hình học: Chứng minh rằng tam giác IEF, IFM, IMN,...

Hoạt động 4 trang 18 Toán 12 Hình học: Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều...

Bài 1 trang 18 Toán 12 Hình học: Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.123),...

Bài 3 trang 18 Toán 12 Hình học: Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều...

Bài 4 trang 18 Toán 12 Hình học: Cho hình bát diện đều ABCDEF...