Chứng minh rằng hàm số y = căn |x| không có đạo hàm tại x = 0

Giải Toán 12 Bài 2: Cực trị hàm số

Bài 3 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{\left|x\right|}$   không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Lời giải:

Hàm số $y=\sqrt{\left|x\right|}$có tập xác định D = $ℝ$ và liên tục trên $ℝ$.

+ Chứng minh hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{\left|x\right|}$

không có đạo hàm tại x = 0.

Xét giới hạn :

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x} \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{-x}}{x} \\ =\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-1}{\sqrt{-x}}=-\infty \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{x} \\ =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty \end{gathered}$$

Suy ra không tồn tại giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}.$ 

Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (Dựa theo định nghĩa).

Ta có : f(x) > 0 = f(0) với mọi x thuộc (-1; 1) và x ≠ 0

Do đó hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 13 Toán 12 Giải tích: Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)...

Hoạt động 2 trang 14 Toán 12 Giải tích: Giả sử f(x) đạt cực đại tại x0 ...

Hoạt động 3 trang 14 Toán 12 Giải tích: Sử dụng đồ thị, hãy xét xem các hàm số sau đây có cực trị hay không...

Hoạt động 4 trang 16 Toán 12 Giải tích: Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0...

Bài 1 trang 18 Toán 12 Giải tích: Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số...

Bài 2 trang 18 Toán 12 Giải tích: Áp dụng Quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số...

Bài 4 trang 18 Toán 12 Giải tích: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m...

Bài 5 trang 18 Toán 12 Giải tích: Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = $\frac{5}{3}{a}^2{x}^3 + 2a{x}^2 - 9x + b$ đều là nhưng số dương...

Bài 6 trang 18 Toán 12 Giải tích: Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số y = $\frac{x^{2 }+ mx+1}{x+m}$ đạt giá trị cực đại tại x = 2...