Cho tam giác ABC vuông tại A

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 18 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác AHC là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi a, b , c lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH.

Ta có: b = 30cm, c = 40cm. 

Xét tam giác ABH vuông tại H có: $\widehat{BHA}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{ABH}+\widehat{HAB}={90}^o$ (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có: $\widehat{BAC}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{BAH}+\widehat{HAC}={90}^o$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $\widehat{ABH}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{BAH}$)

Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông CHA, ta có: 

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}={90}^o$ (do AH là đường cao của tam giác ABC)

$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ (chứng minh trên)

Do đó, tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH (theo trường hợp góc-góc) (3)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}=\frac{BA}{AC} \\ =\frac{HB+HA+BA}{HA+HC+AC} \\ =\frac{b}{c}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4} \\ \Rightarrow \frac{BA}{3}=\frac{AC}{4} \\ \Rightarrow \frac{B{A}^2}{9}=\frac{A{C}^2}{16} \\ =\frac{B{A}^2+A{C}^2}{9+16}=\frac{B{A}^2+A{C}^2}{25} \left(1\right) \end{gathered}$$

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí Pytago , ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$$\begin{gathered} \frac{B{A}^2}{9}=\frac{A{C}^2}{16}=\frac{B{C}^2}{25} \\ \Rightarrow \frac{BA}{3}=\frac{AC}{4}=\frac{BC}{5} \end{gathered}$$

Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông CAB, ta có:

$\widehat{CAB}=\widehat{CHA}={90}^o$

Góc C chung  

Do đó tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB (theo trường hợp góc – góc) (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra các tam giác ABH, CAH, CBA đồng dạng với nhau nên:

b : c : a = BA : AC : BC = 3 : 4 : 5

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{a}{5} \\ \iff \frac{30}{3}=\frac{40}{4}=\frac{a}{5} \\ \Rightarrow a=\frac{30}{3}.5=50 \left(cm\right) \end{gathered}$$

Vậy chu vi của tam giác ABC là 50cm.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 102 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau...

Bài 2 trang 102 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau...

Bài 3 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau...

Bài 4 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau...

Bài 5 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH...

Bài 6 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7...

Bài 7 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Đường cao của một tam giác vuông...

Bài 8 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông...

Bài 9 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5...

Bài 10 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho một tam giác vuông...

Bài 11 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 12 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hai vệ tinh đang bay ở vị trí  A và B cùng cách mặt đất 230 km...

Bài 13 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b...

Bài 14 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b... 

Bài 15 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Giữa hai tòa nhà (kho và phân xưởng) của một nhà máy...

Bài 16 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5, 12, 13...

Bài 17 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD...

Bài 19 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm...

Bài 20 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC...

Bài tập bổ sung:

Bài 1.1 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 1.2 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 1.3 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu...

Bài 1.4 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu...

Bài 1.5 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu...

Bài 1.6 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Đường cao của một tam giác vuông kẻ từ đỉnh góc vuông...

Bài 1.7 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong tam giác có các cạnh 5cm...

Bài 1.8 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC vuông tại A...

Bài 1.9 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A...

Bài 1.10 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm...