Cho tam giác ABC

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 20 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: $B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2=D{C}^2+E{A}^2+F{B}^2$

Lời giải:

Xét tam giác BDM vuông tại D (do MD vuông góc với BC tại D)

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$$\begin{gathered} B{M}^2=B{D}^2+D{M}^2 \\ \Rightarrow B{D}^2=B{M}^2-D{M}^2 \left(1\right) \end{gathered}$$

Xét tam giác CEM vuông tại E (do ME vuông góc với AC tại E)

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$$\begin{gathered} C{M}^2=C{E}^2+E{M}^2 \\ \Rightarrow C{E}^2=C{M}^2-E{M}^2 \left(2\right) \end{gathered}$$

Xét tam giác AFM vuông tại F (do MF vuông góc với AB tại F)

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$$\begin{gathered} A{M}^2=A{F}^2+F{M}^2 \\ \Rightarrow A{F}^2=A{M}^2-F{M}^2 \left(3\right) \end{gathered}$$

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

$$\begin{gathered} B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2 \\ =B{M}^2-D{M}^2+C{M}^2-E{M}^2+A{M}^2-F{M}^2 \left(4\right) \end{gathered}$$

Xét tam giác BFM vuông tại F (do MF vuông góc với AB tại F)

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$B{M}^2=B{F}^2+F{M}^2 \left(5\right)$

Xét tam giác CDM vuông tại D (do MD vuông góc với BC tại D)

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$C{M}^2=C{D}^2+D{M}^2$ (6)

Xét tam giác AEM vuông tại E (do ME vuông góc với AC tại E)

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$A{M}^2=A{E}^2+E{M}^2$ (7)

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

$$\begin{gathered} B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2 \\ =B{F}^2+F{M}^2-D{M}^2+C{D}^2 \\ +D{M}^2-E{M}^2+A{E}^2+E{M}^2-F{M}^2 \\ \iff B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2 \\ =D{C}^2+E{A}^2+F{B}^2 \left(đpcm\right) \end{gathered}$$

 Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 102 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau...

Bài 2 trang 102 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau...

Bài 3 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau...

Bài 4 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau...

Bài 5 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH...

Bài 6 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7...

Bài 7 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Đường cao của một tam giác vuông...

Bài 8 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông...

Bài 9 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5...

Bài 10 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho một tam giác vuông...

Bài 11 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 12 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hai vệ tinh đang bay ở vị trí  A và B cùng cách mặt đất 230 km...

Bài 13 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b...

Bài 14 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b... 

Bài 15 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Giữa hai tòa nhà (kho và phân xưởng) của một nhà máy...

Bài 16 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5, 12, 13...

Bài 17 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD...

Bài 18 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 19 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm...

Bài tập bổ sung:

Bài 1.1 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 1.2 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 1.3 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu...

Bài 1.4 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu...

Bài 1.5 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu...

Bài 1.6 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Đường cao của một tam giác vuông kẻ từ đỉnh góc vuông...

Bài 1.7 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong tam giác có các cạnh 5cm...

Bài 1.8 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC vuông tại A...

Bài 1.9 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A...

Bài 1.10 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm...