Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 1.10 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm, cạnh bên AD bằng 4cm và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh DC, CB và đường chéo DB.

Lời giải:

AC vuông góc với BD tại H

Xét tam giác ABD vuông tại A (do hình thang ABCD có góc A vuông)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$$\begin{gathered} A{D}^2=HD.BD \\ A{B}^2=HB.BD \\ \Rightarrow \frac{HD}{HB}=\frac{HD.BD}{HB.BD} \\ =\frac{A{D}^2}{A{B}^2}=\frac{4^2}{6^2}=\frac{4}{9} \end{gathered}$$

Xét tam giác HDC và tam giác HBA có:

$\widehat{DHC}=\widehat{AHB}={90}^o$ (do AC vuông góc với BD tại H)

$\widehat{ACD}=\widehat{CAB}$ (hai góc so le trong do AB // CD do ABCD là hình thang)

Do đó, tam giác HDC đồng dạng HBA theo trường hợp góc góc

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{DC}{AB}=\frac{HD}{HB}=\frac{4}{9} \\ \Rightarrow DC=\frac{4}{9}.AB=\frac{4}{9}.6=\frac{8}{3} \left(cm\right) \end{gathered}$$

Kẻ CK vuông góc với AB

Do đó, DCKA là hình chữ nhật (do có ba góc vuông)

$\Rightarrow$ DC = KA, AD = KC

$$\begin{gathered} \Rightarrow KB=AB-KA \\ =AB-DC=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3} \end{gathered}$$

Xét tam giác vuông KBC vuông tại K

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

$$\begin{gathered} B{C}^2=K{B}^2+K{C}^2 \\ =K{B}^2+A{D}^2 \\ ={\left(\frac{10}{3}\right)}^2+16=\frac{244}{9} \\ \Rightarrow BC=\sqrt{\frac{244}{9}}=\frac{2\sqrt{61}}{3} \left(cm\right) \end{gathered}$$

Xét tam giác vuông ABD vuông tại A

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

$$\begin{gathered} D{B}^2=A{B}^2+A{D}^2=6^2+4^2=52 \\ \Rightarrow DB=\sqrt{52}=2\sqrt{13} \left(cm\right) \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 102 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau...

Bài 2 trang 102 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau...

Bài 3 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau...

Bài 4 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau...

Bài 5 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH...

Bài 6 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7...

Bài 7 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Đường cao của một tam giác vuông...

Bài 8 trang 103 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông...

Bài 9 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5...

Bài 10 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho một tam giác vuông...

Bài 11 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 12 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hai vệ tinh đang bay ở vị trí  A và B cùng cách mặt đất 230 km...

Bài 13 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b...

Bài 14 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b... 

Bài 15 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Giữa hai tòa nhà (kho và phân xưởng) của một nhà máy...

Bài 16 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5, 12, 13...

Bài 17 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD...

Bài 18 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 19 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm...

Bài 20 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC...

Bài tập bổ sung:

Bài 1.1 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 1.2 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 1.3 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu...

Bài 1.4 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu...

Bài 1.5 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu...

Bài 1.6 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Đường cao của một tam giác vuông kẻ từ đỉnh góc vuông...

Bài 1.7 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong tam giác có các cạnh 5cm...

Bài 1.8 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC vuông tại A...

Bài 1.9 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A...