Xét các số thực dương x, y thỏa mãn ${\log }_3\frac{1-y}{x+3xy}=3xy+x+3y-4$. Tìm giá trị nhỏ nhất $P_{min}$ của P = x + y 

Hai thành phố A và B ngăn cách nhau bởi một còn sông. Người ta cần xây cây cầu bắc qua sông và vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành phố A cách bờ sông 2 km, thành phố B cách bờ sông 5 km, khoảng cách giữa đường thẳng đi qua A và đường thẳng đi qua B cùng vuông góc với bờ sông là 12 km. Giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song với nhau. Nhằm tiết kiệm chi phí đi từ thành phố A đến thành phố B, người ta xây cây cầu ở vị trí MN để quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (hình vẽ). Khi đó, độ dài đoạn AM là

Rút gọn biểu thức $M=\frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}\left(a^{{\displaystyle \frac{3}{10}}}-a^{{\displaystyle \frac{-1}{5}}}\right)}{a^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\left(a^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}-a^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\right)}$ với  ta được kết quả là$a>0, a\ne 1$

Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại B, AC vuông góc với mặt phẳng (BCD), $AC=5a, BC=3a, BD=4a$. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương x, y

Cho hàm số $y=x^4-2x^2$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-9x-1$ có hai cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB

Cho hình chóp S.ABC có $AB=6, BC=8, AC=10$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=4 Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy r, chiều cao h và đường sinh l. Kết luận nào sau đây sai?

Tập xác định của hàm số $y={\log }_2\left(10-2x\right)$ là

Tính đạo hàm của hàm số $y=\log \left(2x+1\right)$ 

Khối đa diện nào sau đây có công thức thể tích là $V=\frac{1}{3}Bh?$ Biết hình đa diện đó có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h

Cho hình nón tròn xoay. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh O của hình nón và cắt đường tròn đáy của hình nón tại hai điểm. Thiết diện được tạo thành là

Cho ${\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\alpha }}>{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\beta }}$, với $\alpha ,\beta \in \mathrm{ℝ}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R bảng biến thiên như sau.

Kết luận nào sau đây đúng?

Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật

ABCD có AB và CD thuộc hái đáy của hình trụ, $AB=4a, AC=5a$ Thể tích của khối trụ