Xác định điểm đối xứng của A qua đường thẳng d.

Lời giải

Gọi A'(x_A’; y_A’) là điểm đối xứng với A qua d. Khi đó H là trung điểm của AA’.

Ta có:

x_H = (x_A + x_A’) : 2 ⇔ x_{A’ ­­­­­­}= 2x_H – x_A = 2.(–1) – (–2) = 0

y_H = (y_A + y_A’) : 2 ⇔ y_{A’ ­­­­­­}= 2y_H – y_A = 2.0 – 2 = –2

Vậy A’(0; –2).

*Phương pháp giải:

- Bước 1: Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên d.

   + Bước 1.1: Gọi tọa độ điểm H(x_H; y_H).

   Vì điểm H thuộc d nên : ax_H + by_H + c = 0 (1).

   + Bước 1.2: Do AH vuông góc d nên AH→ là VTPT của d.

   ⇒ AH→(x_H - x_A; y_H - y_A) và n→(a;b) cùng phương

   ⇒ b(x_H - x_A) - a(y_H - y_A)= 0 (2)

   + Bước 1.3: giải hệ(1) và (2) ta được tọa độ điểm H.

- Bước 2: H là trung điểm của AB. Từ đó xác định điểm B

*Lý thuyết:

Đường trung trực: Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AB.

- Điểm A và B đối xứng qua đường thẳng d khi và chỉ khi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

II. Các công thức.

- Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0, điểm $A(x_A;y_A)$ không thuộc d. Tìm điểm $B(x_B;y_B)$ là điểm đối xứng với A qua d, cách làm như sau:

+ Tìm điểm $H(x_H;y_H)$ là hình chiếu vuông góc của A lên d:

Vì $H\in d\Rightarrow a{x}_H+b{y}_H+c=0$ (1)

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(b;-a)$

$AH\perp d\Rightarrow \overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{u}$ 

$\Rightarrow b(x_H-x_A)-a(y_H-y_A)=0$ (2)

Giải hệ (1) và (2) ta được tọa độ điểm H.

+ Biết H là trung điểm của AB, từ đó tìm ra tọa độ của B:

$x_B=2x_H-x_A$

$y_B=2y_H-y_A$

Xem thêm

Công thức tìm điểm đối xứng qua đường thẳng hay và chi tiết - Toán lớp 10 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Đối xứng trục (có đáp án 2) - Toán 8