Từ 200 số tự nhiên 1,2,3,...,200 ta lấy ra k số bất kỳ sao cho trong các số mà số này là bôi của số kia. Tìm GTNN của k

$\mathrm{*Lời\; giải:}$

$Xét$ $=100$

$Ta$ $tìm$ $được$ $tập$ $hợp$ $n=$ { $101;102;103;...200$ }$.$ $($ $Lưu$ $ý:$ $không$ $số$ $nào$ $là$ $bội$ $của$ $số$ $kia$ $).$

$Lấy$ $ra$ $ngẫunhiên$ $101$ $số$ $từ$ $tập$ $hợp$ $200$ $số$ $đã$ $cho.$

$Ta$ $có:$

{ $a_1;$ $a_2;$ $a_3;...$ $a_{101}$ }

$Biểu$ $diễn$ $chúng$ $thành$ $dạng:$

$a_1$ $=$ $2^{x_1}.b_1$ $;$ $a_2$ $=$ $2^{x_2}.b_2$ $;...;$ $a_{101}$ $=$ $2^{x_{101}}.b_{101}$

$Từ$ $đó$ $suy$ $ra:$

$x_1$ $;$ $x_2$ $;$ $x_3$ $;...;$ $x_{101}$ $là$ $các$ $số$ $tự$ $nhiên.$

$b_1$ $;$ $b_2$ $;$ $b_3$ $;...;$ $b_{101}$ $là$ $các$ $số$ $lẻ.$

$\underset{100-số-lẻ}{\underset{}{1;2;3;...;199}}$

$Vậy$ $trong$ $101$ $số$ $đã$ $cho$ $tồn$ $tại$ $2$ $số$ $m>n$ $sao$ $cho$ $b^m$ = $b^n.$ $Hai$ $số$ $này$ $là$ $bội$ $của$ $nhau.$

$Vậy$ $k=101.$

* Phương pháp giải: 

- Biến đổi về dạng Hằng đẳng thức +/- 1 số lẻ bên ngoài 

- Khi đó min/max chính là số lẻ đó 

- Đạt được khi dấu bằng xảy ra

* Lý thuyết nắm thêm: 

Giải phương trình bậc hai  ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1,  (1)

- Nếu  a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1,  (2)

- Nếu không rơi vào trường hợp (1) và (2) thì tính ∆ = b2 – 4ac

+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: 

+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:  

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n }\ge \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}$

Dạng 2: x1 + x2 +...+xn $\ge n.\sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}$

Dạng 3: ${\left(\frac{x_{1 }+x_2+...+x_n}{n}\right)}^n\ge x_1.x_2...x_n$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =....= xn

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

Dạng 1:$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}$

Dạng 2: (x1 + x2 + ... + xn) $(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n})\ge n^2$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 9 Bài 19 (Kết nối tri thức): Phương trình bậc hai một ẩn

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức (2025 + Bài tập)