Trong một hộp có chứa các tấm bìa dạng hình chữ nhật có kích thước đôi một khác nhau, các cạnh của hình chữ nhật có kích thước là m và n ($m,n\in N;1\le m,n\le 20,$ đơn vị là cm). Biết rằng mỗi bộ kích thước ( m,n) đều có tấm bìa tương ứng. Ta gọi một tấm bìa là “tốt” nếu tấm bìa đó có thể được lắp ghép từ các miếng bìa dạng hình chữ L gồm 4 ô vuông, mỗi ô có độ dài cạnh là 1cm để tạo thành nó (Xem hình vẽ minh họa một tấm bìa “tốt” bên dưới) . 

Rút ngẫu nhiên một tấm bìa từ hộp, tính xác suất để tấm bìa vừa rút được là tấm bìa “tốt”

Trong không gian Oxyz, cho hình nón có đỉnh I thuộc mặt phẳng $\left(P\right):2x-y-2z-7=0$ và hình tròn đáy nằm trên mặt phẳng $\left(R\right):2x-y-2z+8=0.$ Mặt phẳng (Q) đi qua điểm $A\left(0;-2;0\right)$ và vuông góc với trục của hình nón chia hình nón thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_1$ và V ( $V_1$ là thể tích của phần chứa đỉnh I ). Biết rằng biểu thức $S=V_2+\frac{78}{V_1^3}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $V_1=a,V_2=b.$ Khi đó tổng $a^2+b^2$ bằng

Cho hàm số $y=\frac{2x}{x-1}$ có đồ thị là (C) . Tìm tập hợp tất cả các giá trị của $a\in R$ để qua điểm $M\left(0;a\right)$ có thể kẻ được đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm M 

Mệnh đề nào sau đây sai?Mệnh đề nào sau đây sai?

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^3+mx+1}-\sqrt[3]{x^4+x+1}+m^{2}x}$ nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó tích các phần tử của S bằng

Biết rằng nếu $x\in R$ thỏa mãn ${27}^x+{27}^{-x}=4048$ thì $3^x+3^{-x}=9a+b$ trong đó $a,b\in N;0<a\le 9.$ Tổng a+b bằng

Tìm nguyên hàm $F\left(x\right)$ của hàm số  $f\left(x\right)=\frac{3+\cos 4\pi x}{4},F\left(4\right)=2$ 

Cho số phức z và gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2+8i=0$ (có $z_1$ có phần thực dương). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left|z-z_1\right|+\left|z_2-z\right|+\left|\overline{z}+2z_1+\frac{z_2}{2}\right|$ được viết dưới dạng $m\sqrt{n}+p\sqrt{q}$ (trong đó $n,p\in N;m,q$ là các số nguyên tố). Tổng m + n + p + q bằng

Biết rằng đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào?

Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình $0,5^{2x-4}>0,5^{x+1}$ là

Cho hàm số $y = f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của hàm số $y =f^{\text{'}}\left(x\right)$ được cho bởi hình vẽ bên dưới.

Chọn khẳng định đúng:

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và độ dài đường cao bằng $\frac{\sqrt{14}a}{2}.$ Tính tang của góc giữa cạnh bên và mặt đáy

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số $y=x^4-2x^2+1,$ tiếp tuyến D của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục hoành. Quay D xung quanh trục hoành tạo thành một khối tròn xoay có thể tích V được tính theo công thức

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=x,y={\sin }^{2}x$ và đường thẳng $x=-\frac{\pi }{4}$ bằng

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_1=-5,u_{n+1}=u_n+2,n\in N^{*}.$ Tổng $S_5=u_1+u_2+...+u_5$ bằng

Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $2z^2-3z+12=0.$ Khi đó $z_1+z_2$ bằng