Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;3), B(2;3;1) và mặt phẳng (P): x+3y-2z+3=0. Gọi d là một đường thẳng thay đổi trong (P) và H, K là hình chiếu của A, B trên d. Biết rằng khi AH = BK thì trung điểm I của đoạn HK luôn nằm trên đường thẳng $∆$ cố định có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ Vectơ  cùng phương với vectơ nào?

Cho hàm số f(x) có đồ thị của hàm số y=f’(x-2)+2 như hình vẽ dưới. Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Tích phân $I={\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\frac{dx}{{\sin }^{2}x}$ bằng

Cho tứ giác lồi ABCD có $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=90°, \widehat{BAD}=120°$ và $BD=a\sqrt{3}$ Tính AC

Một quả bóng cao su được thả từ đọ cao 81m. Mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên 2/3 độ cao của lần rơi trước. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy lên nữa

Một chất điểm chuyển động với vận tốc v=30(m/s) thì đột ngột thay đổi gia tốc a(t)= 4-t (m/s²). Tính quãng đường đi được từ thời điểm thay đổi gia tốc đến thời điểm vận tốc nhỏ nhất

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy), tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x²+y²+2mx-2(m-3)y +m²+1=0 là phương trình của một đường tròn

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua M(1;2;3) và song song với mặt phẳng x-2y+3z-1=0 có phương trình là

Khi x thay đổi trong khoảng $\left(\frac{5\mathrm{\pi }}{7}; \frac{7\mathrm{\pi }}{4}\right)$ thì y = sinx có giá trị thuộc

Tìm giá trị của tham số m để hàm số y=2x⁴-4mx²-1 có hai cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của đồ thị bằng 8

Cho hàm số f xác định, có đạo hàm trên R thỏa mãn f²(-x) =(x²+2x+4)f(x+2) và f(x) $\ne 0, \forall x \in R$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 0 là

Cho một vật thể có dạng như hình vẽ. Ba cạnh là ba đường parabol giống nhau, mọi mặt phẳng vuông góc với đường cao SO của vật thể đều cắt nó theo thiết diện là tam giác đều. Mặt phẳng trung trực của đường cao cắt vật thể theo thiết diện là tam giác đều có cạnh bằng 4$\sqrt{3}m$ Đáy là tam giác đều có cạnh bằng 6$\sqrt{3}m$

Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sin 4\alpha - 2 \sin 2\alpha }{\sin 4\alpha + 2 \sin \alpha }$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;-3;2), B(3;3;0) và đường thẳng $\left(d\right):\frac{x-2}{2}=\frac{-y}{2}=\frac{z-1}{2}$ Lấy điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa độ điểm M(a;b;c). Tính a + b + c

Cho hàm số: y=x^-3-3(m+1)x²+9x+m-2 (1) có đồ thị là (C_m). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để (C_m) có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y=1/2x ?

Cho tứ diện S.ABC. Gọi D là điểm trên SA, E là điểm trên SB và F là điểm trên AC (DE và AB không song song). Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (DEF).