Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm A(1;1;1), B(2;0;2), C(-1;-1;0), D(0;3;4). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B', C', D' sao cho $\frac{AB}{A{B}^{\text{'}}}+\frac{AC}{A{C}^{\text{'}}}+\frac{AD}{A{D}^{\text{'}}}=4$ và tứ diện AB'C'D' có thế tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (B'C'D') là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ

Số các giá trị nguyên của m để phương trình $f\left(x\right)=2-3m$ có 4 nghiệm phân biệt là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $2f\left(\sin x-\cos x\right)=m-1$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right)$?

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3-x+2$ với đường thẳng y = 2 là

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=10+\frac{1}{x-10}$.

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2+5x+3$ và hàm số g(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số $y=g\left(f\left(x\right)\right)$ nghịch biến trên khoảng.

Cho biểu thức $P=\sqrt{x\sqrt[3]{x^2\sqrt[4]{x^3}}}$ với x > 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB=\sqrt{6}$, $AD=\sqrt{3}$, $A^{\text{'}}C=3$ và mặt phẳng (AA'C'C) vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng (AA'C'C) và (AA'B'B) tạo với nhau góc $\alpha$, thỏa mãn $\tan \alpha =\frac{3}{4}$. Thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' bằng

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;-2;5). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng tọa độ (Oxz) là

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = 2a, $\widehat{BAC}=120°$. Hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC. Thể tích khối chóp A'.BB'C'C là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R lần lượt di động trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho $\frac{1}{O{P}^2}+\frac{1}{O{Q}^2}+\frac{1}{O{R}^2}=\frac{1}{8}$. Biết mặt phẳng (PQR) luôn tiếp xúc với mặt cầu (S) cố định. Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$ và cắt (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Diện tích lớn nhất của tam giác AOB là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), góc giữa SC và (ABCD) bằng 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD là

Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R. Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình dưới đây.

Lập hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)-x^2-3x$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho $\underset{-2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=-4$ và $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=2$. Khi đó $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng

Thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) xung quanh trục Ox là