Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=20.$  Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  có phương trình $x-2y+2z-1=0$  và đường thẳng $\Delta$  có phương trình $\frac{x}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+4}{-3}.$  Phương trình đường thẳng ${\Delta }^{\text{'}}$  nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right),$  vuông góc với $\Delta$  đồng thời cắt (S) theo một dây cung có độ dài lớn nhất là

Một lớp học có 35 học sinh gồm 20 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh gồm 2 nam và 3 nữ đi dự đại hội đoàn trường?

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng cách $\left(-1;3\right)$  đồ thị hàm số y=f(x) có mấy điểm cực trị?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của hình chóp là

Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng

Trong không gian Oxyz, điểm đối xứng của điểm $A\left(3;2;-4\right)$  qua mặt phẳng Oxy là

Đồ thị hàm số nào sau đây nghịch biến trên (0;1)?

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm m để phương trình $2f\left(x\right)-m=0$  có duy nhất một nghiệm 

Một hộp đựng 10 tấm thẻ phân biệt gồm 6 tấm thẻ ghi số 1 và 4 tấm thẻ ghi số 0. Một trò chơi được thực hiện bằng cách rút ngẫu nhiên một thẻ từ hộp rồi hoàn lại. Sau một số lần rút, trò chơi sẽ kết thúc khi có đúng 3 lần rút được thẻ ghi số 1 hoặc đúng 3 lần thẻ ghi số 0. Xác suất để trò chơi kết thúc khi có đúng 3 lần rút được thẻ ghi số 1 bằng

Cho số phức $z=a+bi\left(a,b\in ℝ\right)$  thỏa mãn $z-2\overline{z}=-1+6i.$  Giá trị $a+b$  bằng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai điểm $A\left(0;2;3\right)$  và $B\left(1;3;5\right)$  là

Cho ${\log }_{27}\left|a\right|+{\log }_9{b}^2=5$  và ${\log }_{27}\left|b\right|+{\log }_9{a}^2=7$  Giá trị của $\left|a\right|-\left|b\right|$  bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn $\left|z+2-i\right|+\left|z-4-i\right|=10$  bằng

Cho hình vuông S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB sao cho $BH=2HA.$  Cạnh SC tạo với đáy (ABCD)  một góc bằng $60°.$  Khoảng cách từ trung điểm K của  HC đến mặt phẳng (SCD)   bằng

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x^3-3x^2-1$  là

Giả sử a, b là các số thực sao cho $x^3+y^3=a{.10}^{3z}+b{.10}^{2z}$  đúng với mọi các số thực dương x, y, z thỏa mãn $\log \left(x+y\right)=z$  và $\log \left(x^2+y^2\right)=z+1.$  Giá trị của  bằng