Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A\left(6;-2;3\right),B\left(0;1;6\right),C\left(2;0;-1\right),D\left(4;1;0\right).$ Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ là:

Đáp án đúng là A

Lời giải

Phương trình mặt cầu (S) có dạng: $x^2+y^2+z^2-2Ax-2By-2Cz+D=0,$ ta có

$\left\{\begin{array}{l}A\left(6;-2;3\right)\in \left(S\right)\\ B\left(0;1;6\right)\in \left(S\right)\\ C\left(2;0;-1\right)\in \left(S\right)\\ D\left(4;1;0\right)\in \left(S\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}49-12A+4B-6C+D=0\left(1\right)\\ 37-2B-12C+D=0\left(2\right)\\ 5-4A+2C+D=0\left(3\right)\\ 17-8A-2B+D=0\left(4\right)\end{array}\right.$

Lấy $x^2+y^2+z^2-2Ax-2By-2Cz+D=0,$ ta được hệ:

$\left\{\begin{array}{l}-12A+6B+6C=-12\\ 4A-2B-14C=-32\\ 4A+2B+2C=12\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}A=2\\ B=-1\\ C=3\end{array}\right.\Rightarrow D=-3.$

Vậy phương trình mặt cầu là: $x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z-3=0.$

*Phương pháp giải:

*Lý thuyết;

1. Mặt cầu

- Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính r.

Ta kí hiệu mặt cầu tâm O, bán kính r là S(O; r) hay viết tắt là (S). Như vậy ta có mặt cầu S(O; r) = {M| OM = r}.

- Nếu hai điểm C; D nằm trên mặt cầu S(O; r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó.

- Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó, độ dài đường kính bằng 2r.

- Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó.

2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu.

Cho mặt cầu tâm O bán kính r và A là một điểm bất kì trong không gian.

- Nếu OA = r thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S(O; r).

- Nếu OA < r thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O; r).

- Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r).

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O, bán kính r.

3. Biểu diễn mặt cầu.

- Ta thường dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu. Khi đó, hình biểu diễn của mặt cầu là một hình tròn.

- Muốn cho hình biểu diễn của mặt cầu được trực quan ta thường vẽ thêm hình biểu diễn của một số đường tròn nằm trên mặt cầu đó.

4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu.

Ta có thể xem mặt cầu như là mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của nửa đường tròn đó. Khi đó, giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến của mặt cầu, giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu. Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu.

Xem thêm

Lý thuyết Mặt cầu (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Mặt cầu (có đáp án 2024) - Toán 12