Câu hỏi:
17/06/2026 236
Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau và tính các giá trị lượng giác của chúng.
a) \(\frac{{23\pi }}{4}\); b) \(\frac{{31\pi }}{6}\); c) – 1 380°.
Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau và tính các giá trị lượng giác của chúng.
a) \(\frac{{23\pi }}{4}\); b) \(\frac{{31\pi }}{6}\); c) – 1 380°.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Ta có \(\frac{{23\pi }}{4} = 6\pi - \frac{\pi }{4}\). Góc \(\frac{{23\pi }}{4}\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\) trên đường tròn lượng giác (hình dưới).
Vậy \(\sin \frac{{23\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\cos \frac{{23\pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và \(\tan \frac{{23\pi }}{4} = \cot \frac{{23\pi }}{4} = - 1\).
b) Ta có \(\frac{{31\pi }}{6} = \frac{{7\pi }}{6} + 4\pi \). Góс \(\frac{{31\pi }}{6}\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2}} \right)\) trên đường tròn lượng giác (hình dưới).
Vậy \(\sin \frac{{31\pi }}{6} = - \frac{1}{2};\,\,\cos \frac{{31\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(\tan \frac{{31\pi }}{6} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) và \(\cot \frac{{31\pi }}{6} = \sqrt 3 \).
c) Ta có – 1 380° = − 4 . 360° + 60°. Góc –1 380° được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {\frac{1}{2};\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) trên đường tròn lượng giác (hình dưới).
Vậy sin(– 1 380°) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\); cos(– 1 380°) = \(\frac{1}{2}\); tan(– 1 380°) = \(\sqrt 3 \) và cot(– 1 380°) = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
*Phương pháp giải
- Sử dụng các góc lượng giác đặc biệt. Biến đổi các giá trị đề bài cho, rồi vẽ trên đường tròn lượng giác
* Lý thuyết
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là .
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là .
- Hàm số cho bằng công thức được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là .
- Hàm số cho bằng công thức được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là .
Hàm số tuần hoàn
Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T 0 sao cho với mọi ta có:
+) và
+)
Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
* Nhận xét:
Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2.
Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì .
Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx
- Tập xác định là .
- Tập giá trị là [-1;1].
- Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2.
- Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .
- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.
Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx
Tập xác định là .
Tập giá trị là [-1;1].
Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2.
Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .
Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.
Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx
Tập xác định là .
Tập giá trị là .
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì .
Đồng biến trên mỗi khoảng , .
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx
Tập xác định là .
Tập giá trị là .
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì .
Đồng biến trên mỗi khoảng , .
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Xem thêm
Lý thuyết Hàm số lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức
Toán 11 giải vở bài tập (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 1
Lời giải
a) Ta có \(\frac{{23\pi }}{4} = 6\pi - \frac{\pi }{4}\). Góc \(\frac{{23\pi }}{4}\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\) trên đường tròn lượng giác (hình dưới).
Vậy \(\sin \frac{{23\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\cos \frac{{23\pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và \(\tan \frac{{23\pi }}{4} = \cot \frac{{23\pi }}{4} = - 1\).
b) Ta có \(\frac{{31\pi }}{6} = \frac{{7\pi }}{6} + 4\pi \). Góс \(\frac{{31\pi }}{6}\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2}} \right)\) trên đường tròn lượng giác (hình dưới).
Vậy \(\sin \frac{{31\pi }}{6} = - \frac{1}{2};\,\,\cos \frac{{31\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(\tan \frac{{31\pi }}{6} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) và \(\cot \frac{{31\pi }}{6} = \sqrt 3 \).
c) Ta có – 1 380° = − 4 . 360° + 60°. Góc –1 380° được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {\frac{1}{2};\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) trên đường tròn lượng giác (hình dưới).
Vậy sin(– 1 380°) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\); cos(– 1 380°) = \(\frac{1}{2}\); tan(– 1 380°) = \(\sqrt 3 \) và cot(– 1 380°) = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
*Phương pháp giải
- Sử dụng các góc lượng giác đặc biệt. Biến đổi các giá trị đề bài cho, rồi vẽ trên đường tròn lượng giác
* Lý thuyết
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là .
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là .
- Hàm số cho bằng công thức được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là .
- Hàm số cho bằng công thức được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là .
Hàm số tuần hoàn
Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T 0 sao cho với mọi ta có:
+) và
+)
Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
* Nhận xét:
Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2.
Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì .
Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx
- Tập xác định là .
- Tập giá trị là [-1;1].
- Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2.
- Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .
- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.
Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx
Tập xác định là .
Tập giá trị là [-1;1].
Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2.
Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .
Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.
Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx
Tập xác định là .
Tập giá trị là .
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì .
Đồng biến trên mỗi khoảng , .
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx
Tập xác định là .
Tập giá trị là .
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì .
Đồng biến trên mỗi khoảng , .
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Xem thêm
Lý thuyết Hàm số lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức
Toán 11 giải vở bài tập (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 1
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. sin 2a = 2sin a cos a.
B. cos 2a = cos2 a – sin2 a.
C. cos 2a = 1 – 2sin2 a.
D. tan 2a = \(\frac{{2\tan a}}{{1 + {{\tan }^2}a}}\).
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. sin 2a = 2sin a cos a.
B. cos 2a = cos2 a – sin2 a.
C. cos 2a = 1 – 2sin2 a.
D. tan 2a = \(\frac{{2\tan a}}{{1 + {{\tan }^2}a}}\).
Câu 2:
Biết sin x = \(\frac{1}{2}\). Giá trị của cos2 x bằng
A. \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\).
B. \({\cos ^2}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
C. \({\cos ^2}x = \frac{1}{4}\).
D. \({\cos ^2}x = \frac{3}{4}\).
Biết sin x = \(\frac{1}{2}\). Giá trị của cos2 x bằng
A. \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\).
B. \({\cos ^2}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
C. \({\cos ^2}x = \frac{1}{4}\).
D. \({\cos ^2}x = \frac{3}{4}\).
Câu 3:
Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. sin α < 0; cos α > 0.
B. sin α > 0; cos α > 0.
C. sin α < 0; cos α < 0.
D. sin α > 0; cos α < 0.
Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. sin α < 0; cos α > 0.
B. sin α > 0; cos α > 0.
C. sin α < 0; cos α < 0.
D. sin α > 0; cos α < 0.
Câu 4:
Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?
A. y = cos x.
B. y = sin3 x .
C. y = sin x.
D. y = tan x.
Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?
A. y = cos x.
B. y = sin3 x .
C. y = sin x.
D. y = tan x.
Câu 5:
Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:
a) y = sin\(\frac{x}{2}\) + cos 3x;
b) y = cos 5x + tan\(\frac{x}{3}\).
Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:
a) y = sin\(\frac{x}{2}\) + cos 3x;
b) y = cos 5x + tan\(\frac{x}{3}\).
Câu 6:
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2π.
B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.
C. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2π.
D. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2π.
B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.
C. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2π.
D. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.
Câu 7:
Một thanh xà gồ hình hộp chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 30 cm.
a) Chứng minh rằng diện tích mặt cắt của thanh xà gồ được tính bởi công thức
S(θ) = 450 sin 2θ (cm2),
ở đó góc θ được chỉ ra trong hình vẽ dưới đây.
b) Tìm góc θ để diện tích mặt cắt của thanh xà gồ là lớn nhất.
Một thanh xà gồ hình hộp chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 30 cm.
a) Chứng minh rằng diện tích mặt cắt của thanh xà gồ được tính bởi công thức
S(θ) = 450 sin 2θ (cm2),
ở đó góc θ được chỉ ra trong hình vẽ dưới đây.
b) Tìm góc θ để diện tích mặt cắt của thanh xà gồ là lớn nhất.
Câu 8:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).
B. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cos x\).
C. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x\).
D. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cot x\).
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).
B. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cos x\).
C. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x\).
D. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cot x\).
Câu 9:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. sin(180° – a) = – cos a.
B. sin(180° – a) = – sin a.
C. sin(180° – a) = sin a.
D. sin(180° – a) = cos a.
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. sin(180° – a) = – cos a.
B. sin(180° – a) = – sin a.
C. sin(180° – a) = sin a.
D. sin(180° – a) = cos a.
Câu 10:
Rút gọn các biểu thức sau
a) \(\frac{{\sin \left( {45^\circ + \alpha } \right) - \cos \left( {45^\circ + \alpha } \right)}}{{\sin \left( {45^\circ + \alpha } \right) + \cos \left( {45^\circ + \alpha } \right)}}\);
b) \(\frac{{\sin 2\alpha + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha }}\);
c) \(\frac{{1 + \cos \alpha - \sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha - \sin \alpha }}\);
d) \(\frac{{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha }}\).
Rút gọn các biểu thức sau
a) \(\frac{{\sin \left( {45^\circ + \alpha } \right) - \cos \left( {45^\circ + \alpha } \right)}}{{\sin \left( {45^\circ + \alpha } \right) + \cos \left( {45^\circ + \alpha } \right)}}\);
b) \(\frac{{\sin 2\alpha + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha }}\);
c) \(\frac{{1 + \cos \alpha - \sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha - \sin \alpha }}\);
d) \(\frac{{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha }}\).
Câu 11:
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\);
b) \(B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
c) \(C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
d) \(D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\).
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\);
b) \(B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
c) \(C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
d) \(D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\).
Câu 12:
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà \(\widehat {uOv}\) là góc tù. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Có số nguyên k để \(\frac{\pi }{2} + k2\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \).
B. \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}\).
C. \( - \frac{\pi }{2} < \alpha \le \frac{{3\pi }}{2}\).
D. \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \).
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà \(\widehat {uOv}\) là góc tù. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Có số nguyên k để \(\frac{\pi }{2} + k2\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \).
B. \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}\).
C. \( - \frac{\pi }{2} < \alpha \le \frac{{3\pi }}{2}\).
D. \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \).
Câu 13:
Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hóa bởi hàm số
\(P\left( t \right) = 100 + 20\sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right)\)
ở đó P(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian t tính theo giây.
a) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 100 mmHg.
b) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 mmHg
Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hóa bởi hàm số
\(P\left( t \right) = 100 + 20\sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right)\)
ở đó P(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian t tính theo giây.
a) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 100 mmHg.
b) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 mmHg
Câu 14:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p
a) y = sin x – cos x;
b) y = sin x + sin\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\);
c) y = sin4 x + cos4 x;
d) y = cos 2x + 2cos x – 1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p
a) y = sin x – cos x;
b) y = sin x + sin\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\);
c) y = sin4 x + cos4 x;
d) y = cos 2x + 2cos x – 1.
Câu 15:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\).
B. \(\cos u - \cos v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\).
C. \(\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\).
D. \(\sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\).
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\).
B. \(\cos u - \cos v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\).
C. \(\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\).
D. \(\sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\).
