Câu hỏi:
17/06/2026 511
Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:
a) y = sin\(\frac{x}{2}\) + cos 3x;
b) y = cos 5x + tan\(\frac{x}{3}\).
Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:
a) y = sin\(\frac{x}{2}\) + cos 3x;
b) y = cos 5x + tan\(\frac{x}{3}\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Hàm số y = sin\(\frac{x}{2}\) tuần hoàn với chu kì T1 = \(\frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi \), hàm số y = cos 3x tuần hoàn với chu kì T2 = \(\frac{{2\pi }}{3}\). Ta có \(4\pi = 6 \cdot \frac{{2\pi }}{3}\).
Ta chỉ ra rằng hàm số f(x) = = sin\(\frac{x}{2}\) + cos 3x tuần hoàn như sau:
\(f\left( {x + 4\pi } \right) = \sin \frac{{x + 4\pi }}{2} + \cos 3\left( {x + 4\pi } \right)\)
\( = \sin \left( {\frac{x}{2} + 2\pi } \right) + \cos \left( {3x + 12\pi } \right)\)
\( = \sin \frac{x}{2} + \cos 3x = f\left( x \right)\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 4π.
b) Hàm số y = cos 5x tuần hoàn với chu kì T1 = \(\frac{{2\pi }}{5}\), hàm số y = tan\(\frac{x}{3}\) hoàn với chu kì \({T_2} = \frac{\pi }{{\frac{1}{3}}} = 3\pi \).
Ta có \(6\pi = 2 \times 3\pi = 15 \times \frac{{2\pi }}{5}\).
Ta có thể chỉ ra hàm số f(x) = cos5x + tan\(\frac{x}{3}\) tuần hoàn như sau
\(f\left( {x + 6\pi } \right) = \cos 5\left( {x + 6\pi } \right) + \tan \frac{{x + 6\pi }}{3}\)
\( = \cos \left( {5x + 30\pi } \right) + \tan \left( {\frac{x}{3} + 2\pi } \right)\)\( = \cos 5x + \tan \frac{x}{3} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 6π.
Lời giải
a) Hàm số y = sin\(\frac{x}{2}\) tuần hoàn với chu kì T1 = \(\frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi \), hàm số y = cos 3x tuần hoàn với chu kì T2 = \(\frac{{2\pi }}{3}\). Ta có \(4\pi = 6 \cdot \frac{{2\pi }}{3}\).
Ta chỉ ra rằng hàm số f(x) = = sin\(\frac{x}{2}\) + cos 3x tuần hoàn như sau:
\(f\left( {x + 4\pi } \right) = \sin \frac{{x + 4\pi }}{2} + \cos 3\left( {x + 4\pi } \right)\)
\( = \sin \left( {\frac{x}{2} + 2\pi } \right) + \cos \left( {3x + 12\pi } \right)\)
\( = \sin \frac{x}{2} + \cos 3x = f\left( x \right)\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 4π.
b) Hàm số y = cos 5x tuần hoàn với chu kì T1 = \(\frac{{2\pi }}{5}\), hàm số y = tan\(\frac{x}{3}\) hoàn với chu kì \({T_2} = \frac{\pi }{{\frac{1}{3}}} = 3\pi \).
Ta có \(6\pi = 2 \times 3\pi = 15 \times \frac{{2\pi }}{5}\).
Ta có thể chỉ ra hàm số f(x) = cos5x + tan\(\frac{x}{3}\) tuần hoàn như sau
\(f\left( {x + 6\pi } \right) = \cos 5\left( {x + 6\pi } \right) + \tan \frac{{x + 6\pi }}{3}\)
\( = \cos \left( {5x + 30\pi } \right) + \tan \left( {\frac{x}{3} + 2\pi } \right)\)\( = \cos 5x + \tan \frac{x}{3} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 6π.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. sin 2a = 2sin a cos a.
B. cos 2a = cos2 a – sin2 a.
C. cos 2a = 1 – 2sin2 a.
D. tan 2a = \(\frac{{2\tan a}}{{1 + {{\tan }^2}a}}\).
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. sin 2a = 2sin a cos a.
B. cos 2a = cos2 a – sin2 a.
C. cos 2a = 1 – 2sin2 a.
D. tan 2a = \(\frac{{2\tan a}}{{1 + {{\tan }^2}a}}\).
Câu 2:
Biết sin x = \(\frac{1}{2}\). Giá trị của cos2 x bằng
A. \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\).
B. \({\cos ^2}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
C. \({\cos ^2}x = \frac{1}{4}\).
D. \({\cos ^2}x = \frac{3}{4}\).
Biết sin x = \(\frac{1}{2}\). Giá trị của cos2 x bằng
A. \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\).
B. \({\cos ^2}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
C. \({\cos ^2}x = \frac{1}{4}\).
D. \({\cos ^2}x = \frac{3}{4}\).
Câu 3:
Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. sin α < 0; cos α > 0.
B. sin α > 0; cos α > 0.
C. sin α < 0; cos α < 0.
D. sin α > 0; cos α < 0.
Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. sin α < 0; cos α > 0.
B. sin α > 0; cos α > 0.
C. sin α < 0; cos α < 0.
D. sin α > 0; cos α < 0.
Câu 4:
Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?
A. y = cos x.
B. y = sin3 x .
C. y = sin x.
D. y = tan x.
Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?
A. y = cos x.
B. y = sin3 x .
C. y = sin x.
D. y = tan x.
Câu 5:
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2π.
B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.
C. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2π.
D. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2π.
B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.
C. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2π.
D. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.
Câu 6:
Một thanh xà gồ hình hộp chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 30 cm.
a) Chứng minh rằng diện tích mặt cắt của thanh xà gồ được tính bởi công thức
S(θ) = 450 sin 2θ (cm2),
ở đó góc θ được chỉ ra trong hình vẽ dưới đây.
b) Tìm góc θ để diện tích mặt cắt của thanh xà gồ là lớn nhất.
Một thanh xà gồ hình hộp chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 30 cm.
a) Chứng minh rằng diện tích mặt cắt của thanh xà gồ được tính bởi công thức
S(θ) = 450 sin 2θ (cm2),
ở đó góc θ được chỉ ra trong hình vẽ dưới đây.
b) Tìm góc θ để diện tích mặt cắt của thanh xà gồ là lớn nhất.
Câu 7:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).
B. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cos x\).
C. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x\).
D. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cot x\).
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).
B. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cos x\).
C. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x\).
D. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cot x\).
Câu 8:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. sin(180° – a) = – cos a.
B. sin(180° – a) = – sin a.
C. sin(180° – a) = sin a.
D. sin(180° – a) = cos a.
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. sin(180° – a) = – cos a.
B. sin(180° – a) = – sin a.
C. sin(180° – a) = sin a.
D. sin(180° – a) = cos a.
Câu 9:
Rút gọn các biểu thức sau
a) \(\frac{{\sin \left( {45^\circ + \alpha } \right) - \cos \left( {45^\circ + \alpha } \right)}}{{\sin \left( {45^\circ + \alpha } \right) + \cos \left( {45^\circ + \alpha } \right)}}\);
b) \(\frac{{\sin 2\alpha + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha }}\);
c) \(\frac{{1 + \cos \alpha - \sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha - \sin \alpha }}\);
d) \(\frac{{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha }}\).
Rút gọn các biểu thức sau
a) \(\frac{{\sin \left( {45^\circ + \alpha } \right) - \cos \left( {45^\circ + \alpha } \right)}}{{\sin \left( {45^\circ + \alpha } \right) + \cos \left( {45^\circ + \alpha } \right)}}\);
b) \(\frac{{\sin 2\alpha + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha }}\);
c) \(\frac{{1 + \cos \alpha - \sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha - \sin \alpha }}\);
d) \(\frac{{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha }}\).
Câu 10:
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\);
b) \(B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
c) \(C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
d) \(D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\).
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\);
b) \(B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
c) \(C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
d) \(D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\).
Câu 11:
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà \(\widehat {uOv}\) là góc tù. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Có số nguyên k để \(\frac{\pi }{2} + k2\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \).
B. \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}\).
C. \( - \frac{\pi }{2} < \alpha \le \frac{{3\pi }}{2}\).
D. \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \).
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà \(\widehat {uOv}\) là góc tù. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Có số nguyên k để \(\frac{\pi }{2} + k2\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \).
B. \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}\).
C. \( - \frac{\pi }{2} < \alpha \le \frac{{3\pi }}{2}\).
D. \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \).
Câu 12:
Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hóa bởi hàm số
\(P\left( t \right) = 100 + 20\sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right)\)
ở đó P(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian t tính theo giây.
a) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 100 mmHg.
b) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 mmHg
Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hóa bởi hàm số
\(P\left( t \right) = 100 + 20\sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right)\)
ở đó P(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian t tính theo giây.
a) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 100 mmHg.
b) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 mmHg
Câu 13:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p
a) y = sin x – cos x;
b) y = sin x + sin\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\);
c) y = sin4 x + cos4 x;
d) y = cos 2x + 2cos x – 1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p
a) y = sin x – cos x;
b) y = sin x + sin\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\);
c) y = sin4 x + cos4 x;
d) y = cos 2x + 2cos x – 1.
Câu 14:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\).
B. \(\cos u - \cos v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\).
C. \(\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\).
D. \(\sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\).
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\).
B. \(\cos u - \cos v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\).
C. \(\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\).
D. \(\sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\).
Câu 15:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng (– π; 0) và đồng biến khoảng (0; π).
B. Hàm số y = cos x đồng biến trên các khoảng (– π; 0) và (0; π).
C. Hàm số y = cos x nghịch biến trên các khoảng (– π; 0) và (0; π).
D. Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng (– π; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; π).
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng (– π; 0) và đồng biến khoảng (0; π).
B. Hàm số y = cos x đồng biến trên các khoảng (– π; 0) và (0; π).
C. Hàm số y = cos x nghịch biến trên các khoảng (– π; 0) và (0; π).
D. Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng (– π; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; π).
