Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = sinx.cosx, đường thẳng y = 0, x = 0 và x = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

Nếu số phức z ≠ 1 thỏa mãn |z| = 1 thì phần thực của số phức $\frac{1}{1-\mathrm{z}}$ bằng      

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 64 ${\mathrm{cm}}^3$. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh bằng 4 cm và đáy ABCD là hình bình hành. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD.

Có bao nhiêu nghiệm phức z thỏa mãn |z+i| =2 và ${\mathrm{z}}^2$ là số thuần ảo?

Cho điểm H(1;2;3). Mặt phẳng (P) đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ((AD'B') bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;0;-1) và đường thẳng $\mathrm{d}\left\{\begin{array}{l} \\ \end{array}\right.\begin{array}{c}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-\mathrm{t}\end{array}$ . Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng dvà đi qua A. Viết phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng(P).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3), B(3;-2;1) và mặt phẳng (P): x⁡ + y - z - 3 = 0. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A và B lên mặt phẳng (P). Tính độ dài đoạn thẳng MN

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của A' xuống mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của cạnh AB. Mặt bên (ACC'A') tạo với đáy một góc ${60}^0$. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Cho hình chóp cụt ABC.A'B'C' có hai đáy ABC và A'B'C' có diện tích lần lượt là ${\mathrm{S}}_1$ và ${\mathrm{S}}_2$. Mặt phẳng ABC' chia hình chóp cụt thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^4-2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{m}$. Tìm các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-12}}>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{x}-1}$

Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 4, AD = 6. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính thể tích hình trụ tròn xoay được tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh MN.

Rút gọn biểu thức $\mathrm{P}=\frac{\sqrt[3]{{\mathrm{a}}^2}}{{\mathrm{a}}^2}$

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = a, AB = 2a, cạnh bên SA = $a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm AB  Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.AMD

Cho ${\int }_{-1/2}^1\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=3$ . Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\mathrm{f}\left(\cos 2\mathrm{x}\right)\sin 2\mathrm{xdx}$