Tìm tập xác định của các hàm số:

a) $y=f\left(x\right)=\sqrt{4-2^x}+\frac{1}{\sqrt{{\log }_{2}x}}$ ;             

b) $y=f\left(x\right)=\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)}$  .

Cho hàm số y = f(x) = log₂ x. Biết rằng f(b) – f(a) = 5 (a, b > 0),  tìm giá trị của $\frac{b}{a}$

Đồng vị phóng xạ Uranium - 235 (thường được sử dụng trong điện hạt nhân) có chu kỳ bán rã là T = 703 800 000 năm. Theo đó, nếu ban đầu có 100 gam Uranium - 235 thì sau t năm, do bị phân rã, lượng Uranium - 235 còn lại được tính bởi công thức $M=100{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{T}}\left(g\right)$ . Sau thời gian bao lâu thì lượng Uranium-235 còn lại bằng 90% so với ban đầu?

Độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH = – log x, trong đó x là nồng độ ion H⁺ của dung dịch đó tính bằng mol/L. Biết rằng độ pH của dung dịch A lớn hơn độ pH của dung dịch B là 0,7. Dung dịch B có nồng độ ion H⁺ gấp bao nhiêu lần nồng độ ion H⁺ của dung dịch A?

Giải các phương trình sau:

a) 4^x  –  5.2^x + 4 = 0;                      

b) ${\left(\frac{1}{9}\right)}^x-2.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}-27=0$

Người ta dùng thuốc để khử khuẩn cho một thùng nước. Biết rằng nếu lúc đầu mỗi mililit nước chứa P_­0 vi khuẩn thì sau t giờ (kể từ khi cho thuốc vào thùng), số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước có 9 000 vi khuẩn và sau 2 giờ, số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước là 6 000. Sau thời gian bao lâu thì số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1 000? 

Giải các phương trình sau:

a) $3^{2x+1}=\frac{1}{27}$ ;                             

b) 5^2x = 10;

c) 3^x = 18;                              

d) $0,2^{x-1}=\frac{1}{\sqrt{125}}$ ;

e) 5^3x  = 25^{x – 2};                                

g) ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{x+1}={\left(\frac{1}{32}\right)}^{x-1}$ .

Giải các bất phương trình sau:

a) ${\log }_3(x+4)<2$ ;                       

b) ${\log }_{\frac{1}{2}}x\ge 4$  ;

c) ${\log }_{0,25}(x-1)\le -1$                    

d) ${\log }_5(x^2-24x)\ge 2$

e) $2{\log }_{\frac{1}{4}}(x+1)\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(3x+7)$

g) $2{\log }_3(x+1)\le 1+{\log }_3(x+7)$

Cho hai số thực a và b thỏa mãn 125^a . 25^b = 3. Tính giá trị của biểu thức:

P = 3a + 2b.

Giải các phương trình sau:

a) ${\log }_3(2x-1)=3$  ;                      

b) ${\log }_{49}x=0,25$  ;

c) ${\log }_2(3x+1)={\log }_2(2x-4)$ ;

d) ${\log }_5(x-1)+{\log }_5(x-3)={\log }_5(2x+10)$ ;

e) log x + log (x – 3) = 1;              

g) ${\log }_2\left({\log }_{81}x\right)=-2$ .

Giải các bất phương trình sau:

a) $4^x<2\sqrt{2}$ ;                              

b) ${\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{x-1}\ge \frac{1}{9}$ ;

c) $5.{\left(\frac{1}{2}\right)}^x<40$ ;                         

d) 4^2x < 8^{x –1};

e) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{2-x}\le {\left(\frac{1}{25}\right)}^x$ ;                      

g) 0,25^{x – 2} > 0,5^{x + 1}_.