a) 3^{2x + 1} = 3^{– 3}

⇔ 2x + 1= –3 (do 3 > 1)

⇔ x = – 2.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

b) 5^2x =10

⇔ 2x = log₅ 10  

$\iff x=\frac{1}{2}{\log }_{5}10$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{1}{2}{\log }_{5}10$

c) 3^x = 18 ⇔ x = log₃ 18

Vậy phương trình có nghiệm là x = log₃ 18.

d)  $0,2^{x-1}=\frac{1}{\sqrt{125}}$

 $\iff 5^{1-x}=5^{-\frac{3}{2}}$

 $\iff 1-x=\frac{-3}{2}$(do 5 > 1)

$\iff x=\frac{5}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{5}{2}$

e) 5^3x = 25^x–2  

⇔ 5^3x = 5^2x–4

⇔ 3x = 2x – 4 (do 5 > 1)

⇔ x = – 4.

Vậy phương trình có nghiệm là x = – 4.

g) ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{x+1}={\left(\frac{1}{32}\right)}^{x-1}$

$\iff {\left(2^{-3}\right)}^{x+1}={\left(2^{-5}\right)}^{x-1}$

$\iff 2^{-3(x+1)}=2^{-5x+5}$

⇔ –3x – 3 = –5x + 5 (do 2 > 1)

⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4.

a) Điều kiện: 2x – 1 > 0 $\iff x>\frac{1}{2}$

Ta có:   ${\log }_3(2x-1)=3$

 $\iff 2x-1=3^3=27$

 $\iff x=14$ (nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {14}.

b) Điều kiện: $x>0$

Ta có: ${\log }_{49}x=0,25$

$\iff {\log }_{7^2}x=\frac{1}{4}$

$\iff \frac{1}{2}{\log }_{7}x=\frac{1}{4}$

$\iff {\log }_{7}x=\frac{1}{2}$

 $\iff x=\sqrt{7}$ (nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\sqrt{7}\right\}$

c) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{81}x>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x>{81}^0=1\end{array}\right.\Rightarrow x>1$

Ta có:  ${\log }_2(3x+1)={\log }_2(2x-4)$

⇔ 3x + 1 = 2x – 4 (do 2 >1)

⇔ x = – 5 (loại).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x-1>0\\ x-3>0\\ 2x+10>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>-1\\ x>3\\ x>-5\end{array}\right.\Rightarrow x>3$

Ta có:  ${\log }_5(x-1)+{\log }_5(x-3)={\log }_5(2x+10)$

 $\iff {\log }_5\left[(x-1)(x-3)\right]={\log }_5(2x+10)$

$\iff {\log }_5\left(x^2-4x+3\right)={\log }_5(2x+10)$

 x² ­– 4x + 3 = 2x + 10 (do 2 >1)

x² – 6x – 7 = 0.

x = 7 (nhận) hoặc x = –1 (loại)   

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {7}.

e) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x-3>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x>3\end{array}\right.\Rightarrow x>3$

Ta có: log x + log (x – 3) = 1

⇔ log [x(x – 3)] = 1

⇔ log (x² – 3x)=1

⇔ x² – 3x – 10 = 0 (do 10 >1)

⇔ x = 5 (nhận) hoặc x = –2 (loại)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {5}.

g) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{81}x>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x>{81}^0=1\end{array}\right.\Rightarrow x>1$

Ta có:  ${\log }_2\left({\log }_{81}x\right)=-2$

$\iff {\log }_{81}x=2^{-2}\iff x={81}^{2^{-2}}=3$ (nhận)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3}.

a) Ta có: $4^x<2\sqrt{2}$

$\iff 2^{2x}<2\sqrt{2}$ $\iff 2x<{\log }_{2}2\sqrt{2}$

$\iff 2x<\frac{3}{2}$

$\iff x<\frac{3}{4}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left(-\infty ;\frac{3}{4}\right)$

b) Ta có: ${\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{x-1}\ge \frac{1}{9}$

 $\iff 3^{-\frac{1}{2}(x-1)}\ge 3^{-2}$

$\iff -\frac{1}{2}(x-1)\ge -2$ (do 3 > 1)

$\iff x\le 5$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-\infty ;5]$

c) $5.{\left(\frac{1}{2}\right)}^x<40$

$\iff 2^{-x}<8$

$\iff 2^{-x}<2^3$

$\iff x>-3$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left(-3;+\infty \right)$.

d) 4^2x < 8^{x – 1}  

⇔ 2^4x < 2^{3x – 3}

⇔ 4x < 3x – 3 (do 2 > 1)

⇔ x < – 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left(-\infty ;-3\right)$

e) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{2-x}\le {\left(\frac{1}{25}\right)}^x$

$\iff 5^{x-2}\le 5^{-2x}$

$\iff x-2\le -2x$ (do 5 >1)

$\iff 3x\le 2$$\iff x\le \frac{2}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left(-\infty ;\frac{2}{3}\right]$.

g) 0,25^{x – 2} > 0,5^{x + 1}  

⇔ 0,5^{2(x - 2)} > 0,5^{x + 1}

⇔ 2(x –2) < x +1 (do 0 < 0,5 < 1)

⇔ x < 5.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left(-\infty ;5\right)$

a) 4^x  –  5.2^x + 4 = 0;

Đặt  t = 2^x  (t > 0).

Khi đó: t² – 5t + 4 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}t=4\\ t=1\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{2}^x=4\\ 2^x=1\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}x={\log }_{2}4=2\\ x={\log }_{2}1=0\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = 0 hoặc x = 2.

b) ${\left(\frac{1}{9}\right)}^x-2.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}-27=0$

$\iff {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}-2{\left(\frac{1}{3}\right)}^x{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}-27=0$

$\iff {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}-6{\left(\frac{1}{3}\right)}^x-27=0$

Đặt $t={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ (t > 0).

Khi đó, ta có: $t^2-6t+27=0$ ⇔ t = 9 (nhận) hoặc t = –3 (loại)

Do đó ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=9$  ⇔ 3^–x = 3² ⇔ x = –2.

Vậy nghiệm của phương trình là x = –2.

Từ giả thiết, nhận được 1 < log₃ x < 2 hay 3 < x < 9.

Do đó, ta có các số nguyên cần tìm là 4; 5; 6; 7; 8.

a) $y=f\left(x\right)=\sqrt{4-2^x}+\frac{1}{\sqrt{{\log }_{2}x}}$

Điều kiện xác định:

$\left\{\begin{array}{l}4-2^x\ge 0\\ {\log }_{2}x>0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{2}^x\le 4\\ x>2^0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\le {\log }_{2}4\\ x>1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 2\\ x>1\end{array}\right.$

Tập xác định: D = (1; 2].

b) $y=f\left(x\right)=\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)}$

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{l}x-2>0\\ {\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>2\\ x-2\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^0\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>2\\ x\le 3\end{array}\right.\Rightarrow 2<x\le 3$

Tập xác định: D = (2; 3].

Ta có $f\left(b\right)-f\left(a\right)={\log }_{2}b-{\log }_{2}a$$={\log }_2\left(\frac{b}{a}\right)=5$

$\iff \frac{b}{a}=2^5=32$

Vậy  $\frac{b}{a}=32$

Ta có: 125^a . 25^b = 3

⇔ 5^3a . 5^2b = 3

⇔ 5^3a+2b  = 3

⇔ 3a + 2b = log₅ 3.

Vậy giá trị của biểu thức P là log₅ 3.

Lượng Uranium - 235 còn lại bằng 90% so với ban đầu là 90 g.

Khi đó M = 90 g, ta có phương trình:

$90=100{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{T}}$$\iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{T}}=0,9$   $\iff \frac{1}{T}={\log }_{\frac{1}{2}}0,9$$\iff t=T.{\log }_{\frac{1}{2}}0,9\approx 106979777$

 (năm).

Vậy sau khoảng 106 979 777 năm thì lượng Uranium-235 còn lại bằng 90% so với ban đầu.

$6000=9000.{10}^{-2\alpha }\Rightarrow \alpha =-\frac{1}{2}\log \frac{6000}{9000}$$\Rightarrow \alpha =-\frac{1}{2}\log \frac{3}{2}$

Để số lượng vi khuẩn trong mỗi milit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1 000, ta có: $9000.{10}^{-\alpha t}\le 1000$

$\iff {10}^{-\alpha t}\le \frac{1}{9}\iff -\alpha t\le \log \frac{1}{9}$

$\iff t\ge -\frac{2}{\alpha }\log \frac{1}{3}=\frac{2}{\frac{1}{2}\log \frac{3}{2}}.\log \frac{1}{3}$$=\frac{4\log 3}{\log \frac{3}{2}}\approx 10,8$ (giờ).

Vậy sau khoảng 10,8 giờ thì số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1 000.

Ta có: pH_A = – log x_A; pH_B = – log x_B

Khi đó pH_A – pH_B = – logx_A + logx_B = $\log \frac{x_B}{x_A}$

Do đó $\log \frac{x_B}{x_A}=0,7\Rightarrow \frac{x_B}{x_A}\approx {10}^{0,7}\approx 5$  (lần)

Vậy dung dịch B có nồng độ ion H⁺ gấp 5 lần nồng độ ion H⁺ của dung dịch A.