Thể tích của khối nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+2y+3z-7=0 và hai đường thẳng $d_1:\frac{x+3}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+2}{-4};d_2:\frac{x+1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{3}$ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d₁ và d₂ có phương trình là

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [-5;3] có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích các hình phẳng (A), (B), (C), (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) và trục hoành lần lượt bẳng 6; 3; 12; 2. Tích phân ${\int }_{-3}^1\left(2f\left(2x+1\right)+1\right)dx$ bằng

Nghiệm của phương trình ${\log }_{2}x+{\log }_{4}x={\log }_{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{3}\right)$ là

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu $\left(S_1\right),\left(S_2\right)$ có phương trình lần lượt là $\left(S_1\right):x^2+y^2+z^2=25;\left(S_2\right):x^2+y^2+{\left(z-1\right)}^2=4.$ Một đường thẳng d vuông góc với vector $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;0\right)$ tiếp xúc với mặt cầu (S₂) và cắt mặt cầu (S₁) theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 8. Hỏi véctơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của d?

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;2), B(-2;2;0) và mặt phẳng (P):2x-y+2z-3=0. Xét các điểm M, N di động trên (P) sao cho MN = 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $2M{A}^2+3N{B}^2$ bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình $2f\left(x\right)+x^3>2m+3x^2$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left(-1;3\right)$ khi và chỉ khi

Cho hàm số f(x)  liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f(sinx)=m  có đúng hai nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn [0;π].

Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) liên tục trên R và đồ thị hàm số f(x) như hình vẽ bên. Biết rằng hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x=1 đường thẳng $△$ trong hình vẽ bên là tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x)  tại điểm có hoành độ x=2 Tích phân ${\int }_0^{\ln 3}{e}^{x}f\text{'}\text{'}\left(\frac{e^x+1}{2}\right)dx$ bằng

Cho hàm số f(x)  liên tục trên đoạn [−1;4] và có đồ thị trên đoạn [−1;4] như hình vẽ bên. Tích phân ${\int }_{-1}^{4}f\left(x\right)dx$ bằng

Có bao nhiêu số thực m để hàm số $y=\left(m^3-3m\right)x^4+m^2{x}^3-m{x}^2+x+1$ đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ 

Cho hàm số f(x) có đạo hàm 

$f\text{'}\left(x\right)={\left(x^2-2x-3\right)}^3,\forall x\in R$. Hàm số đã

cho đồng biến trên khoảng nào dưới

đây?

Với a, b là các số thực dương tuỳ ý, 

$\ln \left(a{b}^2\right)$ bằng

Cho hai số thực a, b phân biệt thỏa mãn ${\log }_3\left(7-3^{\alpha }\right)=2-\alpha$ và ${\log }_3\left(7-3^b\right)=2-b$ Giá trị biểu thức $9^{\alpha }+9^b$ bằng

Cho ${\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)dx=3{\int }_0^{3}f\left(x\right)dx=3$ Tích phân ${\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)dx$ bằng

Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao 4,2m. Trong đó, 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính 40cm và 6 cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính 26cm. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380.000 đồng/m2 (gồm cả tiền thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn 10 cây cột đó ? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn).