Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có BC = 3, góc $\widehat{BAC}$ = 30°. Tính diện tích tam giác ABC.

* Lời giải:

Gọi E là giao điểm của BM và CN.

Ta có công thức đường trung tuyến:

$C{N}^2=\frac{C{A}^2+C{B}^2}{2}-\frac{A{B}^2}{4}=\frac{b^2+a^2}{2}-\frac{c^2}{4}$

$\Rightarrow C{E}^2=\frac{4}{9}C{N}^2=\frac{4}{9}\left(\frac{b^2+a^2}{2}-\frac{c^2}{4}\right)$

$B{M}^2=\frac{B{A}^2+B{C}^2}{2}-\frac{C{A}^2}{4}=\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}$

$\Rightarrow B{E}^2=\frac{4}{9}B{M}^2=\frac{4}{9}\left(\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}\right)$

Trong tam giác ABC có: BM ^ CN nên tam giác CEB vuông tại E

Þ CE2 + BE2 = BC2

$\Rightarrow \frac{4}{9}\left(\frac{b^2+a^2}{2}-\frac{c^2}{4}\right)+\frac{4}{9}\left(\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}\right)=a^2$

$\iff \frac{1}{9}{b}^2+\frac{1}{9}{c}^2+\frac{4}{9}{a}^2=a^2$

$\iff 5a^2=b^2+c^2$

Tam giác ABC có:

a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A = 5a2 − 2bc.cos A

$\Rightarrow bc=\frac{2a^2}{\cos A}$.

Khi đó: $S=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}.\frac{2a^2}{\cos A}.\sin A$

$=a^2.\tan A=a^2.\tan {30}^{\circ }=3\sqrt{3}$.

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức đường trung tuyến để tính CN² và BM² theo các cạnh của tam giác ABC.

Dựa vào tính chất vuông góc của hai đường trung tuyến BM và CN tại E, áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác CEB để suy ra mối quan hệ giữa các cạnh.

Sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC để biểu diễn bc theo a và cosA.

Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ và thay các giá trị đã biết vào.

* Một số lý thuyết nắm thêm tam giác cân và đường trung trực đoạn thẳng:

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Khi đó, ta gọi:

• Tam giác ABC là tam giác cân tại A;

• AB, AC là các cạnh bên và BC là cạnh đáy;

• $\widehat{\text{B}}\text{, }\widehat{\text{C}}$ là các góc ở đáy và $\widehat{\text{A}}$ là góc ở đỉnh.

Dấu hiệu nhận biết

– Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

– Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Chú ý:

+ Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều.

+ Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

– Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.

Quan sát hình vẽ trên, ta có:

+ Đoạn thẳng AB; trung điểm I của đoạn thẳng AB;

+ Đường thẳng d ⊥ AB tại I.

Do đó, đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Tính chất

– Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Quan sát hình trên, ta có:

Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng DE;

Điểm O nằm trên đường thẳng a.

Khi đó ta có OD = OE.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết: 

Lý thuyết Tam giác cân – Toán 7 Cánh diều 

Giải Toán 7 Bài 9 (Cánh diều): Đường trung trực của một đoạn thẳng 

Tam giác cân, Tam giác đều và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 7