Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng $2a\sqrt{3}$, góc ở đỉnh là ${120}^{\circ }$. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất $S_{max}$ của thiết diện đó là bao nhiêu?

Cho $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-10}{x-1}=5$. Giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-10}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{4f\left(x\right)+9}+3\right)}$ bằng

Cho tanx = 2. Giá trị của biểu thức $P=\frac{4\sin x+5\cos x}{2\sin x-3\cos x}$ là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, $\widehat{ADC}={60}^{\circ }$. Gọi O là giao điểm của AC và BD, SO vuông góc với (ABCD) và SO = a. Góc giữa đường thẳng SD và (ABCD) bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.MNP có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng NC và BI bằng:

Cho các hàm số $y=f\left(x\right),y=f\left[f\left(x\right)\right],y=f\left(x^2+4\right)$ có đồ thị lần lượt là $\left(C_1\right);\left(C_2\right);\left(C_3\right)$. Đường thẳng x = 1 cắt $\left(C_1\right);\left(C_2\right);\left(C_3\right)$ lần lượt tại M, N, P. Biết phương trình tiếp tuyến của $\left(C_1\right)$ tại M và của $\left(C_2\right)$ tại N lần lượt là y = 3x + 2 và y = 12x - 5. Phương trình tiếp tuyến của $\left(C_3\right)$ tại P bằng:

Tích các nghiệm của phương trình ${\log }_3\left(3x\right).{\log }_3\left(9x\right)=4$ là

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn ${\log }_3{\left[\left(x+3\right)\left(y+1\right)\right]}^{y+1}=9-\left(x-1\right)\left(y+1\right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 2y là:

Cho đường thẳng $∆$: 3x - 4y - 19 = 0 và đường tròn $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25$. Biết đường thẳng $∆$ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B, khi đó độ dài đoạn thẳng AB là

Cho 4 số thực a, b, c, d là 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24. Tính $P=a^3+b^3+c^3+d^3$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 3, BC = 4. Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA bằng 4. Côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng

Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi $m\in S$ có đúng một số phức thỏa mãn $\left|z-m\right|=4$ và $\frac{z}{z-6}$ là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S.

Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;-4;3). Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ bằng

Cho A, B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Bạn An và bạn Tâm đến một cửa hàng văn phòng phẩm để mua bút chì và bút bi. Bạn An mua 3 bút chì và 2 bút bi với giá 13500 đồng, bạn Tâm mua 2 bút chì và 4 bút bi với giá 17000 đồng. Vậy giá mỗi bút chì và mỗi bút bi tương ứng là

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt phẳng qua AB và trung điểm M của SC cắt hình chóp theo thiết diện có chu vi bằng 7a (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối nón có đỉnh là S và đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD bằng: