Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn; giá tiền 1kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

* Lời giải: 

a) Vì gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn nên 0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,1

Nếu mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì chứa số đơn vị protein là: 800x + 600y (đơn vị)

Do số đơn vị protein cần ít nhất là 900 đơn vị nên ta có: 800x + 600y ≥ 900 hay 8x + 6y ≥ 9

Nếu mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì chứa số đơn vị lipit là: 200x + 400y (đơn vị)

Do số đơn vị lipit cần ít nhất là 400 đơn vị nên ta có: 200x + 400y ≥ 400 hay x + 2y ≥ 2

Khi đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 1,6\\ 0\le y\le 1,1\\ 8x+6y\ge 9\\ x+2y\ge 2\end{array}\right.$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tứ giác ABCD với tọa độ các đỉnh A(0;1), B(1,6;0,2) và C(1,6;1,1), D(0;1,1)

b) Số tiền gia đình đó phải trả để mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn là:

F(x;y) = 250x + 160y (nghìn đồng)

Vậy F(x;y) = 250x +  160y

c) Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của tam giác này:

F(1;0) = 250.1 + 160.0 = 250;

F(1,6;0,2) = 250.1,6 + 160.0,2 = 432;

F(1,6;1,1) = 250.1,6 + 160.1,1 = 576;

F(0;1,1) = 250.0 + 160.1,1 = 176;

Suy ra giá trị nhỏ nhất cần tìm là F(0;1,1) = 176.

Vậy để chi phí là ít nhất thì gia đình cần mua 0 kilôgam thịt bò và 1,1 kilôgam thịt lợn.

* Phương pháp giải: 

 - lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 

- biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- tại mỗi điểm trên miền nghiệm, tính giá trị của biểu thức F

* Lý thuyết cần nắm và dạng toán về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là một hệ gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

• Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta làm như sau:

+ Trong cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.

+ Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm (x₀; y₀) sao cho ax₀ + by₀ + c < 0 được gọi là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.

- Người ta chứng minh được: Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a, b không đồng thời bằng 0) xác định một đường thẳng ∆. Đường thẳng ∆ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng, trong đó một nửa (không kể bờ ∆) là tập hợp các điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c > 0, nửa còn lại (không kể bờ ∆) là tập hợp các điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c < 0.

Ta có thể biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by + c < 0 như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆: ax + by +c = 0.

Bước 2: Lấy một điểm (x₀; y₀) không thuộc ∆. Tính ax₀ +by₀ + c.

+ Nếu ax₀ + by₀ + c < 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) chứa điểm (x₀; y₀).

+ Nếu ax₀ + by₀ + c > 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) không chứa điểm (x₀; y₀).

Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận xét: Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=\mathrm{ax}+\mathrm{by}$, với $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$ là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\mathrm{...}{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}$, tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác

Người ta chứng minh được F = ax + by đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán 10 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 Bài 4 (Kết nối tri thức): Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trắc nghiệm Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án – Toán lớp 10