Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $y=\left(m^2-1\right)x^3+\left(m-1\right)x^2-x+4$nghịch biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$?

Đáp án đúng: A

*Phương pháp giải:

- xét 2 TH với hệ số a = 0 và a khác 0 

- giải từng TH để tìm m xem có thỏa mãn không 

- để xét sự đồng biến/nghịch biến ta sẽ tìm đạo hàm hàm số và xét điều kiện nghịch biến khi và chỉ khi y' nhỏ hơn bằng 0 và giải ra tìm m

*Lời giải:

TH1: $m^2-1=0\iff m=\pm 1$.

Với $m=1$ ta có: $y=-x+4$ nghịch biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow m=1$ thỏa mãn.

Với $m=-1$ ta có $y=-2x^2-x+4$ là 1 parabol đồng biến trên$\left(-\mathrm{\infty };-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)$ và nghịch biến trên $\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}};+\mathrm{\infty }\right)$.

$\Rightarrow m=-1$ không thỏa mãn.

TH2: $m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1$.

Ta có: $y^{\prime }=3\left(m^2-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-1$

Hàm só nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }\le 0\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-1<0\\ {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(m-1\right)}^2+3\left(m^2-1\right)\le 0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}-1<m<1\\ 4m^2-2m-2\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-1<m<1\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}\le m\le 1\end{array}\iff -{\displaystyle \frac{1}{2}}\le m<1.\end{array}$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=0.$

Vậy có 2 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

*Lý thuyết cần nắm và dạng bài toán về đồ thị hàm số và sự đồng biến/nghịch biến của đồ thị:

1. Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số.

2. Sự biến thiên.

+ Xét chiều biến thiên của hàm số.

- Tính đạo hàm y’.

- Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định.

- Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên (ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

3. Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị hàm số.

Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0).

Dạng của đồ thị y = ax⁴ + bx² + c (với a ≠ 0)

Dạng của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+\text{\hspace{0.17em}}b}{cx+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}d};(c\ne 0;ad-bc\ne 0)$

Sự tương giao của các đồ thị.

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C₁) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C₂). Để tìm hoành độ giao điểm của (C₁)và (C₂), ta phải giải phương trình f(x) = g(x).

Giả sử phương trình trên có các nghiệm x₀; x₁; … khi đó, các giao điểm của (C₁)và (C₂) là M₀ (x₀; f(x₀)); M₁ (x₁; f(x₁))…..

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Phần I. Các bài toán không chứa tham số.

Dạng 1: Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

 Phương pháp giải.

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f'(x). Tìm các giá trị x_i (i=1, 2, .., n) mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 4. Sắp xếp các giá trị x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 5. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và chọn đáp án chính xác nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

50 bài tập về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (có đáp án 2024) – Toán 12 

Trắc nghiệm Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (có đáp án 2024) - Toán 12