Hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ với $AB=a,\widehat{ACB}={30}^0$ và $SA=SB=SD$ với $D$ là trung điểm $BC.$ Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng $\frac{3a}{4}.$Tính cos góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBC\right)$. 

Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $D$ là trung điểm $BC$ và $\widehat{ACB}={60}^0$ nên tam giác $ABD$ đều cạnh $a$ và $BC=2a,CA=a\sqrt{3}.$

Dựng $SH\perp \left(ABC\right)$ với $H\in \left(ABC\right)$.

$\Rightarrow H$ là tâm tam giác đều $BAD$ do $SA=SB=SD.$

Gọi hình chiếu của $H$ lên $AB,AC$ thứ tự là $E,F$.

Gọi $M$ là trung điểm đoạn $BD.$

$\Rightarrow AM=\sqrt{B{A}^2-B{M}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

$\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ và $HE=HM=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$

Ta có: $SH\perp BC,AM\perp BC$ nên $BC\perp \left(SAM\right).$

Kẻ $MN\perp SA\left(N\in SA\right)$ thì $MN$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $BC$ hay $MN=\frac{3a}{4}.$

$\Rightarrow NA=\sqrt{M{A}^2-M{N}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Trong tam giác $SAM$ có $MN,SH$ là hai đường cao nên $AH.AM=AN.AS.$

$\Rightarrow AS=\frac{AH.AM}{AN}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=a.$

Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại $A$ và các trục tọa độ như hình vẽ với tia $Ox$ trùng với tia $AB,$ tia $Oy$ trùng với tia $AC$ và tia $Oz$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và có hướng theo $\overrightarrow{HS}.$ Các đơn vị trên các trục bằng nhau và bằng $a.$

Khi đó: $A\left(0;0;0\right),B\left(1;0;0\right),C\left(0;\sqrt{3};0\right)$.

Do $HF=AE=\frac{a}{2},HE=HM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ và $SH=a$ nên $S\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{6};1\right).$

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(SAC\right)$ là

                                                   $\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS}\right]=\left(\sqrt{3};0;\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)$.

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(SBC\right)$ là

                                                   $\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{SC}\right]=\left(-\sqrt{3};-1;\frac{-\sqrt{3}}{3}\right).$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBC\right),$ ta có:

                                                   $\cos \alpha =\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\sqrt{65}}{13}.$

Chọn đáp án C.