Câu hỏi:
17/06/2026 975
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt 3 \tan 2x = - 1\);
b) tan 3x + tan 5x = 0.
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt 3 \tan 2x = - 1\);
b) tan 3x + tan 5x = 0.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
a) \(\sqrt 3 \tan 2x = - 1\)
\( \Leftrightarrow \tan 2x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
\( \Leftrightarrow \tan 2x = \tan \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}\).
b) tan 3x + tan 5x = 0
⇔ tan 3x = – tan 5x
⇔ tan 3x = tan (– 5x)
⇔ 3x = – 5x + kπ, k ∈ ℤ
⇔ 8x = kπ, k ∈ ℤ
⇔ x = \(k\frac{\pi }{8},\,k \in \mathbb{Z}\)
Mà tan x có nghĩa khi x \( \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = \(k\frac{\pi }{8}\) với \(k \ne 4 + 8n,\,\,n \in \mathbb{Z}\).
*Phương pháp giải:
Phương trình: tan x = m. Điều kiện: x ≠ 
+ kπ (k ∈ Z)
- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:
tan x = m ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)
- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:
tan x = m ⇔ x = αrctan m + kπ (k ∈ Z)
*Lý thuyết:
* Công thức nghiệm cơ bản
a) Phương trình sin x = m
Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2: |m| ≤ 1. Phương trình có nghiệm.
- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:
sinx = m ⇔ sinx = sinα ⇔ 
- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:
sinx = m ⇔ 
- Các trường hợp đặc biệt:
sinx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
sinx = 1 ⇔ x = 
+ k2π (k ∈ Z)
sinx = -1 ⇔ x = -
+ k2π (k ∈ Z)
b) Phương trình cos x = m
Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2: |m| ≤ 1 . Phương trình có nghiệm.
- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:
- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:
- Các trường hợp đặc biệt:
cosx = 0 ⇔ x = 
+ kπ (k ∈ Z)
cosx = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z)
cosx = -1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z)
c) Phương trình: tan x = m. Điều kiện: x ≠ + kπ (k ∈ Z)
- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:
tan x = m ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)
- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:
tan x = m ⇔ x = αrctan m + kπ (k ∈ Z)
d) Phương trình: cot x = m. Điều kiện: x ≠ kπ (k ∈ Z)
- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:
cot x = m ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)
- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:
cot x = m ⇔ x = αrccot m + kπ (k ∈ Z)
* Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x.
cos u(x) = cos v(x) ⇔ u(x) = 
+ k2π (k ∈ Z)
tan u(x) = tan v(x) ⇔ u(x) = v(x) + kπ (k ∈ Z)
cot u(x) = cot v(x) ⇔ u(x) = v(x) + kπ (k ∈ Z)
Xem thêm
TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án 2023) – Toán 11
Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới + Bài Tập) – Toán 11
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Giải các phương trình sau:
a) sin 2x + cos 4x = 0;
b) cos 3x = – cos 7x.
Giải các phương trình sau:
a) sin 2x + cos 4x = 0;
b) cos 3x = – cos 7x.
Câu 2:
Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v0 = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình \(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \), ở đó g = 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường.
a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm chạm đất của quả đạn ).
b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.
c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.
Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v0 = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình \(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \), ở đó g = 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường.
a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm chạm đất của quả đạn ).
b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.
c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.
Câu 3:
Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu có độ lớn v0 không đổi. Tìm góc bắn α để quả đạn pháo bay xa nhất, bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất.
Câu 4:
Giải các phương trình sau:
a) 2cos x = \( - \sqrt 2 \);
b) cos 3x – sin 5x = 0.
Giải các phương trình sau:
a) 2cos x = \( - \sqrt 2 \);
b) cos 3x – sin 5x = 0.
Câu 5:
Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình
\(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\).
Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình
\(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\).
Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
Câu 6:
Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được Mặt Trời chiếu sáng một phần. Các pha của Mặt Trăng mô tả mức độ phần bề mặt của nó được Mặt Trời chiếu sáng. Khi góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là α (0° ≤ α ≤ 360°) thì tỉ lệ F của phần Mặt Trăng được chiếu sáng cho bởi công thức
\(F = \frac{1}{2}\left( {1 - \cos \alpha } \right)\).
(Theo trang usno.navy.mil).
Xác định góc α tương ứng với các pha sau của Mặt Trăng:
a) F = 0 (trăng mới);
b) F = 0,25 (trăng lưỡi liềm);
c) F = 0,5 (trăng bán nguyệt đầu tháng hoặc trăng bán nguyệt cuối tháng);
d) F = 1 (trăng tròn).
Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được Mặt Trời chiếu sáng một phần. Các pha của Mặt Trăng mô tả mức độ phần bề mặt của nó được Mặt Trời chiếu sáng. Khi góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là α (0° ≤ α ≤ 360°) thì tỉ lệ F của phần Mặt Trăng được chiếu sáng cho bởi công thức
\(F = \frac{1}{2}\left( {1 - \cos \alpha } \right)\).
(Theo trang usno.navy.mil).
Xác định góc α tương ứng với các pha sau của Mặt Trăng:
a) F = 0 (trăng mới);
b) F = 0,25 (trăng lưỡi liềm);
c) F = 0,5 (trăng bán nguyệt đầu tháng hoặc trăng bán nguyệt cuối tháng);
d) F = 1 (trăng tròn).
Câu 7:
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);
b) sin 3x = – sin 5x.
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);
b) sin 3x = – sin 5x.
Câu 8:
Xét sự tương đương của hai phương trình sau:
\(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0\) và x2 – 1 = 0.
Xét sự tương đương của hai phương trình sau:
\(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0\) và x2 – 1 = 0.
Câu 9:
a) Quan sát Hình 1.24, hãy cho biết đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tan x tại mấy điểm trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)?
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm tang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
a) Quan sát Hình 1.24, hãy cho biết đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tan x tại mấy điểm trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)?
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm tang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 10:
a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [0; 2π).
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [0; 2π).
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 11:
a) Quan sát Hình 1.22a, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [– π; π).
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số côsin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
a) Quan sát Hình 1.22a, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [– π; π).
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số côsin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 12:
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
b) \(2\cos x = - \sqrt 2 \);
c) \(\sqrt 3 \tan \left( {\frac{x}{2} + 15^\circ } \right) = 1\);
d) \(\cot \left( {2x - 1} \right) = \cot \frac{\pi }{5}\).
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
b) \(2\cos x = - \sqrt 2 \);
c) \(\sqrt 3 \tan \left( {\frac{x}{2} + 15^\circ } \right) = 1\);
d) \(\cot \left( {2x - 1} \right) = \cot \frac{\pi }{5}\).
Câu 13:
a) Quan sát Hình 1.25, hãy cho biết đường thẳng y = – 1 cắt đồ thị hàm số y = cot x tại mấy điểm trên khoảng (0; π)?
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm côtang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
a) Quan sát Hình 1.25, hãy cho biết đường thẳng y = – 1 cắt đồ thị hàm số y = cot x tại mấy điểm trên khoảng (0; π)?
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm côtang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 14:
Cho hai phương trình 2x – 4 = 0 và (x – 2)(x2 + 1) = 0.
Tìm và so sánh tập nghiệm của hai phương trình trên.
Cho hai phương trình 2x – 4 = 0 và (x – 2)(x2 + 1) = 0.
Tìm và so sánh tập nghiệm của hai phương trình trên.
Câu 15:
Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và rađian của góc α, biết:
a) cos α = – 0,75;
b) tan α = 2,46;
c) cot α = – 6,18.
Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và rađian của góc α, biết:
a) cos α = – 0,75;
b) tan α = 2,46;
c) cot α = – 6,18.
