Quan sát các giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx và đường thẳng y = 1 (Hình 35).

Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình tanx = 1?

*Lời giải

Phương trình tanx = 1 có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

*Phương pháp giải

 - Áp dụng phương trình tanx = a để giải cho phương trình trên

*Lý thuyến cần nắm và dạng toán về phương trình lượng giác:

 1. Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với mọi x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\{\begin{array}{c}\frac{-\pi }{2}\le \alpha \le \frac{\pi }{2}\\ \sin \alpha =a\end{array}$ thì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\alpha +k2\pi$ và $x=\pi -\alpha +k2\pi ;k\in Z$

Tổng quát: 

b) Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là:

c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in Z$.

+ Khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in Z$.

+ Khi a = 0:  Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là $x=k\pi ;k\in Z$.

 2. Phương trình cosx = a.

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $\left|\text{cosx}\right|\le 1$ với mọi x.

- Trường hợp $\left|\text{a}\right|\le 1$.

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x=\pm \alpha +k2\pi ;k\in Z$

- Chú ý:

a) Phương trình cosx = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: 

b) Phương trình cos x= cosβ0 có các nghiệm là $x=\pm {\beta }^0+k{360}^0;k\in Z$

c) Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\{\begin{array}{c}0\le \alpha \le \pi \\ \cos \alpha =a\end{array}$ thì ta viết α = arccosa (đọc là ac – cosin- a, có nghĩa là cung có cosin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cos x = a còn được viết là:

$x=\pm \arccos a+k2\pi ;k\in Z$

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1; phương trình cosx = 1 có các nghiệm là: $x=k2\pi ;k\in Z$.

+ Khi a = – 1; phương trình cosx = – 1 có các nghiệm là: $x=\pi +k2\pi ;k\in Z$

+ Khi a = 0; phương trình cosx = 0 có các nghiệm là: $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in Z$.

3. Phương trình tanx = a.

- Điều kiện xác định của phương trình là $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in Z$.

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x=\arctan a+k\pi ;k\in Z$

- Chú ý:

a) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\alpha +k\pi ;k\in Z$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)+k\pi ;k\in Z$.

b) Phương trình tanx = tanβ0 có các nghiệm là: $x={\beta }^0+k{.180}^0;k\in Z$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 11

Toán 11 Bài 4 giải vở bài tập (Kết nối tri thức): Phương trình lượng giác cơ bản