Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $\sqrt{m+4\sqrt{m+4 \sin x}}$ =sin⁡x có nghiệm.

Nghiệm của phương trình log⁡( x-1)=2 là

Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0;+\infty )$ thỏa mãn $\frac{2f^{\text{'}}\left(x\right)}{\left(f\right(x){)}^2}=\frac{f\left(x\right)(x+2)}{x^3}$ ,$\forall x>0$ và $f\left(1\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tích phân ${\int }_1^2\frac{1}{\left(f\right(x){)}^2}dx$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(4;6;3). Qua M kẻ các tia Mx,My,Mz đôi một vuông góc. Ba điểm A,B,C lần lượt di động trên các tia Mx,My,Mz (không trùng với điểm M) sao cho điểm G(2;$\frac{10}{3}$;3) là trọng tâm tam giác ABC. Biết rằng I(a;b;c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MABC. Giá trị biểu thức a+b+c bằng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB=1,BC=2,AA'=3.. Tính sin của góc giữa đường thẳng A′C và mặt phẳng (A′BD).

Xếp ngẫu nhiên 6 viên bi được ghi số từ 1 đến 6 thành một hàng ngang. Xác suất để tổng hai số ghi trên hai viên bi xếp cạnh nhau bất kì là một số tự nhiên có một chữ số bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=|f(sin⁡x+1)+2|. Giá trị biểu thức M + m bằng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3). Mặt phẳng (P) chứa BC và cùng tạo với hai mặt phẳng (ABC),(OBC) một góc $\alpha >{45}^0$ có một véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$(a;b;c) với a,b,c là các số nguyên và c là một số nguyên tố. Giá trị biểu thức ab+bc+ca bằng

Kí hiệu $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-z+1=0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có tất cả các cạnh bằng a. Côsin góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC bằng

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_3+u_{98}=12$. Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho.

Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h và bán kính đáy r=2a. Mặt phẳng (P) đi qua S và cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB=$2\sqrt{3}a$. Biết khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến (P) bằng $\frac{\sqrt{5}a}{5}$. Tính thể tích V của khối nón.

Trong không gian Oxyz, một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α):$\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{-1}=1$ là

Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số $y=mx-\frac{1}{x^3}+2x^3$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.

Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên đoạn [-2;3] và có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên đoạn [-2;3] bằng

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành diện tích bằng S, chiều cao bằng h. Thể tích của khối chóp S.ACD bằng