Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $y^2\ge 2xz; z^2\ge 2xy$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{2x}{2x+y}+ \frac{y}{y+z}+\frac{3z}{z+2x}$ nằm trong khoảng nào sau đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x+2y-z+16=0 và mặt cầu (s): (x-2)² + (y+1)² + (z-3)²=9. Điểm M di động trên trên (S) và điểm N di động trên (P) sao cho độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất. Tọa độ điểm M là

Cho tam giác OAB vuông cân tại O có AB = 2. Gọi H là trung điểm của AB. Tính diện tích xung quanh S_xq của hình nón sinh bởi quay tam giác OAB quanh OH

Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính từ đấu mép dưới của màn hình). Để nìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng cách màn ảnh sao cho góc nhìn lớn nhất

Vị trí đó cách màn ảnh

Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định BC = 2a và đỉnh A thay đổi. Qua B dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt đường trung tuyến AI của tam giác ABC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, biết rằng IH song song với KC. Tìm quỹ tích điểm A là

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A(2;1), đường thẳng BC: 4x-3y+5=0. P là một điểm di động trên cạnh AC (P khác A và C). Đường tròn đường kính PC cắt BP tại I sao cho: BP.BI + CP.CA=25. Biết rằng B, C có tọa độ nguyên và C có hoành độ lớn hơn B. Hoành độ của điểm B là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B. C khác với gốc tọa độ sao cho biểu thức 6OA+3OB+2OC có giá trị nhỏ nhất

Khai triển  ${\left(1+2x\right)}^{10}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+... + a_{10}{x}^{10}$

$T=a_0-\frac{1}{2}{a}_1+\frac{1}{3}{a}_2-... +\frac{1}{11}{a}_{10}$

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=3-t\end{array}\right.$ và $d\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\text{'}\\ y=-1+2t\text{'}\\ z=2-2t\text{'}\end{array}\right.$ 

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hai điểm A(-1;2), B(3;1) và đường thẳng $∆:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y= 2+t\end{array}\right.$ Điểm C(x;y) thuộc $∆$ để tam giác ACB cân tại C. Giá trị x + y là

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi (P) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Trong (P) xét đường tròn (C) đường kính BC. Diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón có đáy là (C) và đỉnh A bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A và B phân biệt. Biết AB song song với mặt phẳng (zOx) và không song song với hai mặt phẳng (xOy), (yOz). Tọa độ của $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$ có thể là (với a,b#0)

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng a³ .Gọi M là trung điểm của CC’. Tính khoảng cách từ điểm A’ đến mặt phẳng (ABM) biết rằng ABM là tam giác đều cạnh a

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc $60°$ Tính thể tích của khối cầu tiếp hình chóp S.ABC

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f’(x)=(x-1)²(x²-2x) với mọi $x\in R$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm y=f(x²-8x+m) có 5 điểm cực trị

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=x^2-x+3$ và đường thẳng y=2x+1