Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:

Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{x}}^2}{2} \mathrm{khi} \mathrm{x}\le 1\\ \mathrm{ax}+\mathrm{b} \mathrm{khi} \mathrm{x}>1\end{array}\right.$. Với giá trị nào sau đây cảu a, b thì hàm số có đạo hàm tại $\mathrm{x}=1$

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{mx}}^2+3\left({\mathrm{m}}^2-1\right)\mathrm{x}-3{\mathrm{m}}^2+5$ đạt cực đại tại x = 1. Ta có kết quả:

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau (với a, b, c, d

là các hằng số) 

(I): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn

giá trị cực tiểu của nó.

(II): Hàm số $\mathrm{y}=a{\mathrm{x}}^4+\mathrm{bx}+c\left(a\ne 0\right)$ luôn có ít nhất một

cực trị.

(III): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn

hơn mọi giá trị của hàm số đó trên tập xác định.

(IV): Hàm số $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}\left(\mathrm{c}\ne 0,\mathrm{ad}-\mathrm{bc}\ne 0\right)$ không có cực

trị.

Ta có số mệnh đề đúng là:

Một trường THPT có 15 học sinh là đoàn viên ưu tú, trong đó khối 12 có 3 nam và 3 nữ, khối 11 có 2 nam và 3 nữ, khối 10 có 2 nam và 2 nữ. Đoàn trường chọn ra 1 nhóm gồm 4 học sinh là đoàn viên ưu tú để tham gia lao động nghĩa trang liệt sĩ. Xác suất để nhóm được chọn có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh nam là:

Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12 ${\mathrm{m}}^3$ để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của thành bể). Ta có kích thước (dài; rộng – tính theo đơn vị m, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu là:

Giá trị lớn nhất của hàm số $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{mx}+1}{\mathrm{m}-\mathrm{x}}$ trên $\left[2;3\right]$ là $-\frac{1}{3}$ khi m nhận giá trị bằng:

Tìm giá trị của a để phương trình ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^x+\left(1-a\right){\left(2-\sqrt{3}\right)}^x-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: $x_1-x_2={\log }_{2+\sqrt{3}}\left(3\right)$, ta có a thuộc khoảng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau và bằng $\mathrm{a}\sqrt{2}$. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho 0 < x < 1; 0 < $a;b;c\ne 1$ và ${\log }_c\mathrm{x}>0>{\log }_{\mathrm{b}}\left(\mathrm{x}\right)>{\log }_{\mathrm{a}}\left(\mathrm{x}\right)$ so sánh a; b; c ta được kết quả:

Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{mx}}^2+6\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+2}$. Xác định m để hàm số có $\mathrm{y}\text{'}\le 0, \forall \mathrm{x}\in \left(1;+\infty \right)$.

Tìm chu kỳ của những hàm số sau đây: $\mathrm{y}={\cos }^2 2x$

Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 và SA, SB, SC đôi một vuông góc. Khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có thể tích là:

Gọi (${\mathrm{C}}_{\mathrm{m}}$) là độ thì hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^4-2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{m}+2017$. Tìm m để (${\mathrm{C}}_{\mathrm{m}}$) có đúng 3 điểm chung phân biệt với trục hoành, ta có kết quả:

Cho khối  chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $\mathrm{AB}=\mathrm{a}\sqrt{3}, \mathrm{BC}=\mathrm{a}$. Tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBC).